Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (3 x^{2} - 2 x + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{2} - 2 x + 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.5

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.7

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2 + 0)$

Этап 2.9

Добавим $6 x - 2$ и $0$ .

$\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1} (6 x - 2)$ .

$(6 x - 2) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3.2

Умножим $6 x - 2$ на $\frac{1}{3 x^{2} - 2 x + 1}$ .

$\frac{6 x - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $2$ из $6 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6 x$ .

$\frac{2 (3 x) - 2}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (3 x) + 2 (- 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3 x) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{3 x^{2} - 2 x + 1}$