Математический анализ Примеры

$g (t) = \frac{t^{2}}{t - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(t - 1) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $t - 1$ .

$\frac{2 \cdot (t - 1) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (t - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 1) t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 1 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вычтем $t^{2}$ из $2 t^{2}$ .

$\frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $t$ из $t^{2} - 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$\frac{t \cdot t - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $t$ из $- 2 t$ .

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 2}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $t$ из $t \cdot t + t \cdot - 2$ .

$\frac{t (t - 2)}{{(t - 1)}^{2}}$