Математический анализ Примеры

$g (x) = e^{x} \ln (x^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{e^{x}}{x^{3}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x^{3}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{3 e^{x}}{x^{3}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{2}}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $3 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{3}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (3 e^{x})}{x^{2} x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + \ln (x^{3}) e^{x}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$e^{x} \ln (x^{3}) + \frac{3 e^{x}}{x}$