Математический анализ Примеры

$g (x) = {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = \frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{2} - 1$ и $g (x) = 2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 1] - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $6 x$ и $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{(2 x + 5) (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $6$ влево от $2 x + 5$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 \cdot (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x + 5]}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $2 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.8

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [5])}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.11

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - (3 x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.12.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2} \frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 3.12.3

Объединим $\frac{6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}}$ и $3$ .

$\frac{(6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)) \cdot 3}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Этап 3.12.4

Перенесем $3$ влево от $6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1)$ .

$\frac{3 \cdot (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} {(\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5})}^{2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{3 x^{2} - 1}{2 x + 5}$ .

$\frac{3 (6 (2 x + 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 ((6 (2 x) + 6 \cdot 5) x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2} - 1))}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (6 (2 x) x + 6 \cdot 5 x - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (6 (2 x) x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{3 (12 x \cdot x) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x)) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (12 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 (12 x^{1 + 1}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 (12 x^{2}) + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.6

Умножим $12$ на $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (6 \cdot 5 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.7

Умножим $6$ на $5$ .

$\frac{36 x^{2} + 3 (30 x) + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.8

Умножим $30$ на $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 2 (3 x^{2})) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.9

Умножим $3$ на $- 2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x + 3 (- 6 x^{2}) + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.10

Умножим $- 6$ на $3$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 (- 2 \cdot - 1)}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 3 \cdot 2}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.12

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{36 x^{2} + 90 x - 18 x^{2} + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.13

Вычтем $18 x^{2}$ из $36 x^{2}$ .

$\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.14

Умножим $\frac{18 x^{2} + 90 x + 6}{{(2 x + 5)}^{2}}$ на $\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2}}$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2} {(2 x + 5)}^{2}}$

Этап 4.6.15

Умножим ${(2 x + 5)}^{2}$ на ${(2 x + 5)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.15.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{2 + 2}}$

Этап 4.6.15.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{(18 x^{2} + 90 x + 6) {(3 x^{2} - 1)}^{2}}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.7

Изменим порядок членов.

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (18 x^{2} + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.8

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{2} + 90 x + 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Вынесем множитель $6$ из $18 x^{2}$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 90 x + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.8.2

Вынесем множитель $6$ из $90 x$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.8.3

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2}) + 6 (15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.8.4

Вынесем множитель $6$ из $6 (3 x^{2}) + 6 (15 x)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.8.5

Вынесем множитель $6$ из $6 (3 x^{2} + 15 x) + 6 (1)$ .

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} (6 (3 x^{2} + 15 x + 1))}{{(2 x + 5)}^{4}}$

$\frac{{(3 x^{2} - 1)}^{2} \cdot 6 (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$

Этап 4.9

Перенесем $6$ влево от ${(3 x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{6 {(3 x^{2} - 1)}^{2} (3 x^{2} + 15 x + 1)}{{(2 x + 5)}^{4}}$