Математический анализ Примеры

$h (t) = t^{2} {(3 t + 4)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t^{2}$ и $g (t) = {(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} \frac{d}{d t} [{(3 t + 4)}^{3}] + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = 3 t + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 t + 4$ .

$t^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$t^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 t + 4$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \frac{d}{d t} [3 t + 4]) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 t + 4$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.4

Умножим $3$ на $1$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + \frac{d}{d t} [4])) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} (3 + 0)) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$t^{2} (3 {(3 t + 4)}^{2} \cdot 3) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + {(3 t + 4)}^{3} (2 t)$

Этап 3.8

Перенесем $2$ влево от ${(3 t + 4)}^{3}$ .

$t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 \cdot {(3 t + 4)}^{3} t$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $t {(3 t + 4)}^{2}$ из $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2}) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $t {(3 t + 4)}^{2}$ из $t^{2} (9 {(3 t + 4)}^{2})$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + 2 {(3 t + 4)}^{3} t$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $t {(3 t + 4)}^{2}$ из $2 {(3 t + 4)}^{3} t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $t {(3 t + 4)}^{2}$ из $t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9)) + t {(3 t + 4)}^{2} (2 (3 t + 4))$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (t \cdot (9) + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.2

Перенесем $9$ влево от $t$ .

$t {(3 t + 4)}^{2} (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.3

Перепишем ${(3 t + 4)}^{2}$ в виде $(3 t + 4) (3 t + 4)$ .

$t ((3 t + 4) (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.4

Развернем $(3 t + 4) (3 t + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (3 t (3 t + 4) + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t + 4)) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$t (3 t (3 t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t (3 \cdot 3 t \cdot t + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.2.1

Перенесем $t$ .

$t (3 \cdot 3 (t \cdot t) + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$t (3 \cdot 3 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$t (9 t^{2} + 3 t \cdot 4 + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.4

Умножим $4$ на $3$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 4 (3 t) + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 4 \cdot 4) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.1.6

Умножим $4$ на $4$ .

$t (9 t^{2} + 12 t + 12 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.5.2

Добавим $12 t$ и $12 t$ .

$t (9 t^{2} + 24 t + 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.6

Применим свойство дистрибутивности.

$(t (9 t^{2}) + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(9 t \cdot t^{2} + t (24 t) + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + t \cdot 16) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.7.3

Перенесем $16$ влево от $t$ .

$(9 t \cdot t^{2} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Умножим $t$ на $t^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.1

Перенесем $t^{2}$ .

$(9 (t^{2} t) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8.1.2

Умножим $t^{2}$ на $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$(9 (t^{2} t^{1}) + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(9 t^{2 + 1} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8.1.3

Добавим $2$ и $1$ .

$(9 t^{3} + 24 t \cdot t + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8.2

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.2.1

Перенесем $t$ .

$(9 t^{3} + 24 (t \cdot t) + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.8.2.2

Умножим $t$ на $t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 \cdot t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t + 4))$

Этап 4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 2 (3 t) + 2 \cdot 4)$

Этап 4.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 2 \cdot 4)$

Этап 4.9.3

Умножим $2$ на $4$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (9 t + 6 t + 8)$

Этап 4.10

Добавим $9 t$ и $6 t$ .

$(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$

Этап 4.11

Развернем $(9 t^{3} + 24 t^{2} + 16 t) (15 t + 8)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$9 t^{3} (15 t) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot 15 t^{3} t + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.2

Умножим $t^{3}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.1

Перенесем $t$ .

$9 \cdot 15 (t \cdot t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.2.2

Умножим $t$ на $t^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.2.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$9 \cdot 15 (t^{1} t^{3}) + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$9 \cdot 15 t^{1 + 3} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$9 \cdot 15 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.3

Умножим $9$ на $15$ .

$135 t^{4} + 9 t^{3} \cdot 8 + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.4

Умножим $8$ на $9$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 t^{2} (15 t) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{2} t + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.6

Умножим $t^{2}$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.6.1

Перенесем $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t \cdot t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.6.2

Умножим $t$ на $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.6.2.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 (t^{1} t^{2}) + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{1 + 2} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 24 \cdot 15 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.7

Умножим $24$ на $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 24 t^{2} \cdot 8 + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.8

Умножим $8$ на $24$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 t (15 t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t \cdot t + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.10

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.10.1

Перенесем $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 (t \cdot t) + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.10.2

Умножим $t$ на $t$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 16 \cdot 15 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.11

Умножим $16$ на $15$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 16 t \cdot 8$

Этап 4.12.12

Умножим $8$ на $16$ .

$135 t^{4} + 72 t^{3} + 360 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Этап 4.13

Добавим $72 t^{3}$ и $360 t^{3}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 192 t^{2} + 240 t^{2} + 128 t$

Этап 4.14

Добавим $192 t^{2}$ и $240 t^{2}$ .

$135 t^{4} + 432 t^{3} + 432 t^{2} + 128 t$