Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x^{2})$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x^{2}$ .

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $3$ .

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (3 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $- 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

Этап 3.7

Умножим $- 3$ на $- 2$ .

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$