Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$

Этап 1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos (5 x^{3} + 7 x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos (5 x^{3} + 7 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 5 x^{3} + 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{3} + 7 x$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$- 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{3} + 7 x$ .

$- 3 (- \sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$3 (\sin (5 x^{3} + 7 x) \frac{d}{d x} [5 x^{3} + 7 x])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $5 x^{3} + 7 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $5$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + \frac{d}{d x} [7 x])$

Этап 3.6

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7 \cdot 1)$

Этап 3.8

Умножим $7$ на $1$ .

$3 \sin (5 x^{3} + 7 x) (15 x^{2} + 7)$