Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \ln (\sin (x))$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\sin (x))$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\sin (x)$ .

$2 (\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$2 (\csc (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \csc (x) \cos (x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $2 \csc (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \csc (x)$

Этап 5.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.3

Умножим $2 \cos (x) \frac{1}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{2}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.4

Разделим дроби.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.5

Переведем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в $\cot (x)$ .

$\frac{2}{1} \cot (x)$

Этап 5.6

Разделим $2$ на $1$ .

$2 \cot (x)$