Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 e^{x} \ln (x)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x} \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{x} \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{x}}{x} + \ln (x) e^{x})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{e^{x}}{x} + 3 (\ln (x) e^{x})$

Этап 6.2

Объединим $3$ и $\frac{e^{x}}{x}$ .

$\frac{3 e^{x}}{x} + 3 \ln (x) e^{x}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$3 e^{x} \ln (x) + \frac{3 e^{x}}{x}$