Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 \ln (4 x)$

Этап 1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \ln (4 x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [\ln (4 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- 2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$- 2 (\frac{1}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{4 x}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$\frac{2 (- 1)}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x)} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 x} (4 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 \frac{1}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{2 x}$ .

$\frac{- 4}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2}{x} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{x}$