Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \ln (3 x)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (3 x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$2 (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $2$ .

$\frac{2}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{3 x}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x)} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 2}{3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{x} \cdot 1$

Этап 3.5

Умножим $\frac{2}{x}$ на $1$ .

$\frac{2}{x}$