Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 arcsec (x^{2})$

Этап 1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 arcsec (x^{2})$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [arcsec (x^{2})]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [arcsec (x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arcsec (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $arcsec (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- 2 (\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{x^{2} \sqrt{{(x^{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 (\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{2 \cdot 2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 2 (\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} (2 x)$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} x$

Этап 3.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} x$

Этап 3.4.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{- 4}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}} x$

Этап 3.4.4

Объединим $\frac{- 4}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}}$ и $x$ .

$\frac{- 4 x}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 3.4.5

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель $x$ из $- 4 x$ .

$\frac{x \cdot - 4}{x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 3.4.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} \sqrt{x^{4} - 1}$ .

$\frac{x \cdot - 4}{x (x \sqrt{x^{4} - 1})}$

Этап 3.4.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot - 4}{x (x \sqrt{x^{4} - 1})}$

Этап 3.4.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4}{x \sqrt{x^{4} - 1}}$

Этап 3.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x \sqrt{x^{4} - 1}}$