Математический анализ Примеры

$f (x) = - 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$

Этап 1

По правилу суммы производная $- 2 e^{- 5 x} + 15 x^{0.2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{- 5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{- 5 x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 5 x}] + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 5 x$ .

$- 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 5 x$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \frac{d}{d x} [- 5 x]) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} (- 5 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.5

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 2 (e^{- 5 x} \cdot - 5) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.6

Перенесем $- 5$ влево от $e^{- 5 x}$ .

$- 2 (- 5 \cdot e^{- 5 x}) + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.7

Умножим $- 5$ на $- 2$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{d}{d x} [15 x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{0.2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{0.2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}]$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 \frac{d}{d x} [x^{0.2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.2$ .

$10 e^{- 5 x} + 15 (0.2 x^{- 0.8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.3

Умножим $0.2$ на $15$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 x^{- 0.8} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 e^{- 5 x} + 3 \frac{1}{x^{0.8}} + 0$

Этап 5.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{0.8}}$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}} + 0$

Этап 5.2.2

Добавим $10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$ и $0$ .

$10 e^{- 5 x} + \frac{3}{x^{0.8}}$