Математический анализ Примеры

$f (x) = 12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$

Этап 1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x {(x^{2} + 10)}^{5}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 10)}^{5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

$12 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 10)}^{5}] + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x^{2} + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 10$ .

$12 (x (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$12 (x (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 10$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + 10]) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [10])) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$12 (x (5 {(x^{2} + 10)}^{4} (2 x)) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$12 (x (10 {(x^{2} + 10)}^{4} x) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x^{1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 (x^{1 + 1} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5} \cdot 1)$

Этап 10

Умножим ${(x^{2} + 10)}^{5}$ на $1$ .

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4}) + {(x^{2} + 10)}^{5})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$12 (x^{2} (10 {(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Этап 11.2

Умножим $10$ на $12$ .

$120 (x^{2} ({(x^{2} + 10)}^{4})) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Этап 11.3

Вынесем множитель $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ из $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4} + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Вынесем множитель $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ из $120 x^{2} {(x^{2} + 10)}^{4}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{5}$

Этап 11.3.2

Вынесем множитель $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ из $12 {(x^{2} + 10)}^{5}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$

Этап 11.3.3

Вынесем множитель $12 {(x^{2} + 10)}^{4}$ из $12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2}) + 12 {(x^{2} + 10)}^{4} (x^{2} + 10)$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (10 x^{2} + x^{2} + 10)$

Этап 11.4

Добавим $10 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$12 {(x^{2} + 10)}^{4} (11 x^{2} + 10)$