Математический анализ Примеры

$f (x) = 10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $10 x - 5 x^{3} + 3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2.3

Умножим $10$ на $1$ .

$10 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$10 - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 4.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 4.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 4.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 4.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 - 15 x^{2} + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Этап 4.8

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$10 - 15 x^{2} + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 4.9

Объединим $3$ и $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 4.10

Умножим $2$ на $3$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 4.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.12

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 4.13.2

Сократим общий множитель.

$10 - 15 x^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 4.13.3

Перепишем это выражение.

$10 - 15 x^{2} + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 5

Изменим порядок членов.

$- 15 x^{2} + 10 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$