Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x + 5}{x + 4}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 5$ и $g (x) = x + 4$ .

$\frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x + 4) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $x + 4$ на $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5) \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{x + 4 - (x + 5)}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x + 4 - x - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим противоположные члены в $x + 4 - x - 1 \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{0 + 4 - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{4 - 5}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $5$ из $4$ .

$\frac{- 1}{{(x + 4)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$