Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x - 7$ и $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.5.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

Этап 2.7

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Этап 2.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 (x - 7) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 (x - 7) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Этап 2.7.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Этап 3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 2$ на $- 7$ .

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

Этап 4.2.2

Вычтем $2 x$ из $x$ .

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

Этап 4.4

Перепишем $14$ в виде $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

Этап 4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

Этап 4.6

Перепишем $- (x - 14)$ в виде $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

Этап 4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$