Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x^{4}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.2.3

Перенесем $4$ влево от $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b x^{3}$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.3.3

Перенесем $3$ влево от $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c x^{2}$ по $x$ равна $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.4.3

Перенесем $2$ влево от $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [d x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $d x$ по $x$ равна $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.5.3

Умножим $d$ на $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Этап 1.6

Поскольку $e$ является константой относительно $x$ , производная $e$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Этап 1.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Добавим $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ и $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Этап 1.7.2

Изменим порядок членов.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.1.2

Поскольку $d$ является константой относительно $x$ , производная $d$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4 a$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} a$ по $x$ равна $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 b$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} b$ по $x$ равна $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $2 c$ является константой относительно $x$ , производная $2 c x$ по $x$ равна $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $0$ и $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ по $a$ имеет вид $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $x^{4}$ является константой относительно $a$ , производная $a x^{4}$ по $a$ равна $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ имеет вид $n a^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $b x^{3}$ является константой относительно $a$ , производная $b x^{3}$ относительно $a$ равна $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $c x^{2}$ является константой относительно $a$ , производная $c x^{2}$ относительно $a$ равна $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $d x$ является константой относительно $a$ , производная $d x$ относительно $a$ равна $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Этап 4.1.3.4

Поскольку $e$ является константой относительно $a$ , производная $e$ относительно $a$ равна $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Этап 4.1.4.3

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Этап 4.1.4.4

Добавим $x^{4}$ и $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{4}$ .

$x^{4}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{4} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{4} = 0$

Этап 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Этап 5.3

Упростим $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Этап 5.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Этап 9.1.3

Умножим $0$ на $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Этап 9.1.4

Умножим $6 b (0)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Умножим $0$ на $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Этап 9.1.4.2

Умножим $0$ на $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Этап 9.2

Объединим противоположные члены в $2 c + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $2 c$ и $0$ .

$2 c + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $2 c$ и $0$ .

$2 c$

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11