Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 7 x^{2} + 28$ и $g (x) = x^{4} - 16$ .

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 28$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.4

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.5

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Добавим $14 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.6.2

Перенесем $14$ влево от $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.7

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.9

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.2.10.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.2

Умножим $14$ на $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.5.1.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.4

Умножим $7$ на $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.1.5

Умножим $- 4$ на $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5.2

Вычтем $28 x^{5}$ из $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 14 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 112 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 224 x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 14 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 14$ является константой относительно $x$ , производная $- 14 x^{5}$ по $x$ равна $- 14 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $5$ на $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 112$ является константой относительно $x$ , производная $- 112 x^{3}$ по $x$ равна $- 112 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.8

Умножим $3$ на $- 112$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.9

Поскольку $- 224$ является константой относительно $x$ , производная $- 224 x$ по $x$ равна $- 224 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \frac{d}{d x} x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \cdot 1) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.2.11

Умножим $- 224$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{4} - 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4.2

Вынесем множитель $x^{4} - 16$ из ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Вынесем множитель $x^{4} - 16$ из ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4.2.2

Вынесем множитель $x^{4} - 16$ из $- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.4.2.3

Вынесем множитель $x^{4} - 16$ из $(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Этап 2.5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Вынесем множитель $x^{4} - 16$ из ${(x^{4} - 16)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.5.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.5.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.6

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.8

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.9.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) + (- 8 (- 14 x^{5}) - 8 (- 112 x^{3}) - 8 (- 224 x)) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.1

Развернем $(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (- 70 x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4} x^{4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 (x^{4} x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4 + 4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.4

Умножим $x^{4}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.2.4.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 (x^{2} x^{4}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{2 + 4} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.4.3

Добавим $2$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.5

Перенесем $- 224$ влево от $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 \cdot x^{4} - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.6

Умножим $- 70$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.7

Умножим $- 336$ на $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.2.8

Умножим $- 16$ на $- 224$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.3

Добавим $- 224 x^{4}$ и $1120 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.4

Умножим $x^{5}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.4.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 (x^{3} x^{5})) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{3 + 5}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.4.3

Добавим $3$ и $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{8}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.5

Умножим $- 14$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.6.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 (x^{3} x^{3})) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3 + 3}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{6}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.7

Умножим $- 112$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.8

Умножим $x$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.8.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.8.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.3.1.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{3 + 1})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.8.3

Добавим $3$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{4})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.1.9

Умножим $- 224$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.2

Добавим $- 70 x^{8}$ и $112 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.3

Добавим $- 336 x^{6}$ и $896 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.3.4

Добавим $896 x^{4}$ и $1792 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4

Вынесем множитель $14$ из $42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.4.1

Вынесем множитель $14$ из $42 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.2

Вынесем множитель $14$ из $560 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.3

Вынесем множитель $14$ из $2688 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.4

Вынесем множитель $14$ из $5376 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.5

Вынесем множитель $14$ из $3584$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.6

Вынесем множитель $14$ из $14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.7

Вынесем множитель $14$ из $14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.8

Вынесем множитель $14$ из $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.4.9

Вынесем множитель $14$ из $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{3}}$

Этап 2.10.5.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{3}}$

Этап 2.10.5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x^{2}$ и $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{3}}$

Этап 2.10.5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{3}}$

Этап 2.10.5.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{3}}$

Этап 2.10.5.5

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.6

Развернем $(x^{2} + 4) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.7.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.7.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.7.1.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.7.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.7.3

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.8

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.8.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.8.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.9

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 2.10.5.10

Применим правило умножения к $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $7 x^{2} + 28$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{2}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.4

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.5

Поскольку $28$ является константой относительно $x$ , производная $28$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Добавим $14 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.6.2

Перенесем $14$ влево от $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.7

По правилу суммы производная $x^{4} - 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.9

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.10.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.2.10.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.2

Умножим $14$ на $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.5.1.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.4

Умножим $7$ на $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.1.5

Умножим $- 4$ на $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5.2

Вычтем $28 x^{5}$ из $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x^{5}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Этап 5.3.1.1.2

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 112 x^{3}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 224 x = 0$

Этап 5.3.1.1.3

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 224 x$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Этап 5.3.1.1.4

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x (x^{4}) - 14 x (8 x^{2})$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Этап 5.3.1.1.5

Вынесем множитель $- 14 x$ из $- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x (16)$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Этап 5.3.1.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 14 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Этап 5.3.1.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 16) = 0$

Этап 5.3.1.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 4^{2}) = 0$

Этап 5.3.1.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Этап 5.3.1.4.3

Перепишем многочлен.

$- 14 x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Этап 5.3.1.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = u$ и $b = 4$ .

$- 14 x {(u + 4)}^{2} = 0$

Этап 5.3.1.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 5.3.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 5.3.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.3.4

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 5.3.4.2

Решим ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 5.3.4.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 5.3.4.2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 5.3.4.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 5.3.4.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 5.3.4.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 5.3.4.2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.4.2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 5.3.4.2.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 5.3.4.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 5.3.4.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 5.3.4.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 5.3.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.3

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.4.2.1

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.5

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.1.6

Применим правило умножения к $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Приравняем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Этап 6.2.3.2

Решим ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Приравняем $x^{2} + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Этап 6.2.3.2.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} = - 4$

Этап 6.2.3.2.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Этап 6.2.3.2.2.3

Упростим $\pm \sqrt{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.3.1

Перепишем $- 4$ в виде $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Этап 6.2.3.2.2.3.2

Перепишем $\sqrt{- 1 (4)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.2.2.3.3

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Этап 6.2.3.2.2.3.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Этап 6.2.3.2.2.3.5

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm i \cdot 2$

Этап 6.2.3.2.2.3.6

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \pm 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2 i$

Этап 6.2.3.2.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2 i, - 2 i$

Этап 6.2.4

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Приравняем ${(x + 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.4.2

Решим ${(x + 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.2.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 6.2.4.2.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 6.2.5

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.1

Приравняем ${(x - 2)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Этап 6.2.5.2

Решим ${(x - 2)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.5.2.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.2.5.2.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ верно.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Этап 6.3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{14 (3 {(0)}^{8} + 40 {(0)}^{6} + 192 {(0)}^{4} + 384 {(0)}^{2} + 256)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{14 (3 \cdot 0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.4

Умножим $40$ на $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.5

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.6

Умножим $192$ на $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.7

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.8

Умножим $384$ на $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.9

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.10

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.11

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{14 (0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.1.12

Добавим $0$ и $256$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перепишем $0$ в виде $- 1 (0)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.4

Применим правило умножения к $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.5

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Этап 9.2.6

Умножим ${(0 - 2)}^{3}$ на ${(0 - 2)}^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.6.1

Перенесем ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.2.6.3

Добавим $3$ и $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.3

Умножим $14$ на $256$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Вычтем $2$ из $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.4.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Этап 9.4.3

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.1

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.2

Применим правило умножения к $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.3

Возведем $- 1$ в степень $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.4

Умножим $2^{6}$ на $1$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Этап 9.4.4.5

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.6

Перемножим экспоненты в ${(2^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.4.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.6.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Этап 9.4.4.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Этап 9.4.4.8

Добавим $6$ и $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Этап 9.4.5

Возведем $2$ в степень $12$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 4096}$

Этап 9.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 1$ на $4096$ .

$\frac{3584}{- 4096}$

Этап 9.5.2

Сократим общий множитель $3584$ и $- 4096$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.1

Вынесем множитель $512$ из $3584$ .

$\frac{512 (7)}{- 4096}$

Этап 9.5.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.2.2.1

Вынесем множитель $512$ из $- 4096$ .

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Этап 9.5.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Этап 9.5.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{- 8}$

Этап 9.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{8}$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2} + 28}{{(0)}^{4} - 16}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0 + 28}{0^{4} - 16}$

Этап 11.2.1.2

Умножим $7$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 28}{0^{4} - 16}$

Этап 11.2.1.3

Добавим $0$ и $28$ .

$f (0) = \frac{28}{0^{4} - 16}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{28}{0 - 16}$

Этап 11.2.2.2

Вычтем $16$ из $0$ .

$f (0) = \frac{28}{- 16}$

Этап 11.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Сократим общий множитель $28$ и $- 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.1

Вынесем множитель $4$ из $28$ .

$f (0) = \frac{4 (7)}{- 16}$

Этап 11.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 16$ .

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Этап 11.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Этап 11.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (0) = \frac{7}{- 4}$

Этап 11.2.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (0) = - \frac{7}{4}$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$ .

$(0, - \frac{7}{4})$ — локальный максимум

Этап 13