Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $e^{6 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.4

Умножим $6$ на $1$ .

$e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.2.5

Перенесем $6$ влево от $e^{6 x}$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$6 e^{6 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $6 e^{6 x} - e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 e^{6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 e^{6 x}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.2.2

$f'' (x) = 6 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.3

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} (6 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.5

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 (e^{6 x} \cdot 6) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.6

Перенесем $6$ влево от $e^{6 x}$ .

$f'' (x) = 6 (6 \cdot e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.2.7

Умножим $6$ на $6$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{- x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.2

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Этап 2.3.6

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Этап 2.3.7

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + e^{- x}$

Этап 2.3.8

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + 1 e^{- x}$

Этап 2.3.9

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 36 e^{6 x} + e^{- x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $e^{6 x} + e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{6 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{6 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $6 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.1.2

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $6 x$ .

$f' (x) = e^{6 x} \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = e^{6 x} (6 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.4

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (x) = e^{6 x} \cdot 6 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.2.5

Перенесем $6$ влево от $e^{6 x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Этап 4.1.3.1.2

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Этап 4.1.3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Этап 4.1.3.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Этап 4.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Этап 4.1.3.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Этап 4.1.3.5

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Этап 4.1.3.6

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 6 e^{6 x} - e^{- x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 e^{6 x} - e^{- x}$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 e^{6 x} - e^{- x} = 0$

Этап 5.2

Перенесем $- e^{- x}$ в правую часть уравнения, прибавив данный член к обеим частям.

$6 e^{6 x} = e^{- x}$

Этап 5.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (6 e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 5.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $\ln (6 e^{6 x})$ в виде $\ln (6) + \ln (e^{6 x})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{6 x}) = \ln (e^{- x})$

Этап 5.4.2

Развернем $\ln (e^{6 x})$ , вынося $6 x$ из логарифма.

$\ln (6) + 6 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Этап 5.4.3

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 6 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Этап 5.4.4

Умножим $6$ на $1$ .

$\ln (6) + 6 x = \ln (e^{- x})$

Этап 5.5

Развернем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Развернем $\ln (e^{- x})$ , вынося $- x$ из логарифма.

$\ln (6) + 6 x = - x \ln (e)$

Этап 5.5.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x \cdot 1$

Этап 5.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\ln (6) + 6 x = - x$

Этап 5.6

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$\ln (6) + 6 x + x = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $6 x$ и $x$ .

$\ln (6) + 7 x = 0$

Этап 5.7

Вычтем $\ln (6)$ из обеих частей уравнения.

$7 x = - \ln (6)$

Этап 5.8

Разделим каждый член $7 x = - \ln (6)$ на $7$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Разделим каждый член $7 x = - \ln (6)$ на $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Этап 5.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7 x}{7} = \frac{- \ln (6)}{7}$

Этап 5.8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- \ln (6)}{7}$

Этап 5.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{\ln (6)}{7}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 e^{6 (- \frac{\ln (6)}{7})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем $\frac{\ln (6)}{7}$ в виде $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$36 e^{6 (- (\frac{1}{7} \ln (6)))} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.2

Упростим $\frac{1}{7} \ln (6)$ путем переноса $\frac{1}{7}$ под логарифм.

$36 e^{6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.3

Умножим $6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$36 e^{- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.3.2

Упростим $- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$36 e^{- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.4

Упростим $- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$36 e^{\ln ({({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$36 {({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.6

Перемножим экспоненты в ${({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(6^{\frac{1}{7}})}^{6 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.6.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$36 {(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.7

Перемножим экспоненты в ${(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 \cdot 6^{\frac{1}{7} \cdot - 6} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.7.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 6$ .

$36 \cdot 6^{\frac{- 6}{7}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.7.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$36 \cdot 6^{- \frac{6}{7}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.8

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$36 \cdot \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.9

Объединим $36$ и $\frac{1}{6^{\frac{6}{7}}}$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \frac{\ln (6)}{7})}$

Этап 9.10

Перепишем $\frac{\ln (6)}{7}$ в виде $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- - (\frac{1}{7} \ln (6))}$

Этап 9.11

Упростим $\frac{1}{7} \ln (6)$ путем переноса $\frac{1}{7}$ под логарифм.

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- - \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Этап 9.12

Умножим $- - \ln (6^{\frac{1}{7}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{1 \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Этап 9.12.2

Умножим $\ln (6^{\frac{1}{7}})$ на $1$ .

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{\ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Этап 9.13

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{36}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Этап 10

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \frac{\ln (6)}{7}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - \frac{\ln (6)}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Simplify $- \frac{\ln (6)}{7}$ to substitute in $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перепишем $\frac{\ln (6)}{7}$ в виде $\frac{1}{7} \ln (6)$ .

$y = - (\frac{1}{7} \cdot \ln (6))$

Этап 11.1.2

Упростим $\frac{1}{7} \ln (6)$ путем переноса $\frac{1}{7}$ под логарифм.

$y = - \ln (6^{\frac{1}{7}})$

Этап 11.2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \ln (6^{\frac{1}{7}})$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1

Умножим $6 (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.1.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.1.2

Упростим $- 6 \ln (6^{\frac{1}{7}})$ путем переноса $6$ под логарифм.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.2

Упростим $- \ln ({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = e^{\ln ({({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.3

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.4

Перемножим экспоненты в ${({(6^{\frac{1}{7}})}^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {(6^{\frac{1}{7}})}^{6 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.4.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = {(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.5

Перемножим экспоненты в ${(6^{\frac{1}{7}})}^{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{\frac{1}{7} \cdot - 6} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.5.2

Объединим $\frac{1}{7}$ и $- 6$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{\frac{- 6}{7}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = 6^{- \frac{6}{7}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))}$

Этап 11.3.1.7

Умножим $- (- \ln (6^{\frac{1}{7}}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{1 \ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Этап 11.3.1.7.2

Умножим $\ln (6^{\frac{1}{7}})$ на $1$ .

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + e^{\ln (6^{\frac{1}{7}})}$

Этап 11.3.1.8

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$f (- \ln (6^{\frac{1}{7}})) = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Этап 11.3.2

Окончательный ответ: $\frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$ .

$y = \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{6 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (6)}{7}, \frac{1}{6^{\frac{6}{7}}} + 6^{\frac{1}{7}})$ — локальный минимум

Этап 13