Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{3} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{3} x$ по $x$ равна $\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sqrt{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sqrt{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \sin (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\sqrt{3} - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sqrt{3} - 2 \cos (x)$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 \cos (x) + \sqrt{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sqrt{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \cos (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sqrt{3})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\sqrt{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\sqrt{3}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x) + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 \sin (x)$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \cos (x) + \sqrt{3} = 0$

Этап 4

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$

Этап 5

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- 2 \cos (x) = - \sqrt{3}$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.2.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{3}}{- 2}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Этап 9

Упростим $2 π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $6$ на $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Этап 9.3.2

Вычтем $π$ из $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Этап 10

Решение уравнения $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{11 π}{6}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 12.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{1}{2})$

Этап 12.2.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 13

$x = \frac{π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{6}$ — локальный минимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{π}{6}) - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 \sin (\frac{π}{6})$

Этап 14.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{1}{2})$

Этап 14.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{1}{2})$

Этап 14.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Этап 14.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$ .

$y = \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{11 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 16.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{1}{2})$

Этап 16.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Этап 16.3.2

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{- 1}{2})$

Этап 16.3.3

Перепишем это выражение.

$- 1$

Этап 17

$x = \frac{11 π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{11 π}{6}$ — локальный максимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{11 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \sqrt{3} (\frac{11 π}{6}) - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{11 π}{6}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{\sqrt{3} (11 π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 18.2.1.2

Перенесем $11$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \cdot (\sqrt{3} π)}{6} - 2 \sin (\frac{11 π}{6})$

Этап 18.2.1.3

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \sin (\frac{π}{6}))$

Этап 18.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{6})$ : $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (- \frac{1}{2})$

Этап 18.2.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2}$ в числитель.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 2 (\frac{- 1}{2})$

Этап 18.2.1.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 (- 1) (\frac{- 1}{2})$

Этап 18.2.1.5.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 2 \cdot (- 1 (\frac{- 1}{2}))$

Этап 18.2.1.5.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} - 1 \cdot - 1$

Этап 18.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{11 π}{6}) = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $\frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$ .

$y = \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \sqrt{3} x - 2 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3} π}{6} - 1)$ — локальный минимум

$(\frac{11 π}{6}, \frac{11 \sqrt{3} π}{6} + 1)$ — локальный максимум

Этап 20