Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}] + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 15 x^{2} + 10 x - 40$ и $g (x) = {(x^{2} + x + 3)}^{2}$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{2 \cdot 2}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [15 x^{2} + 10 x - 40] - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $15 x^{2} + 10 x - 40$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.5

Умножим $2$ на $15$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.8

Умножим $10$ на $1$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 + \frac{d}{d x} [- 40]) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 40$ является константой относительно $x$ , производная $- 40$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10 + 0) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.3.10

Добавим $30 x + 10$ и $0$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 3)}^{2}]}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + x + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + x + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x + 3$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 (x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- \frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10)$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из $- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из $(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{4}$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))}{(x^{2} + x + 3) {(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.6.2

Сократим общий множитель.

Этап 1.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.7

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.11

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Этап 1.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Умножим $\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + 0$

Этап 1.13.2

Добавим $- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ и $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.1

Развернем $(x^{2} + x + 3) (30 x + 10)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- \frac{x^{2} (30 x) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{30 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{30 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.3

Перенесем $10$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x \cdot x + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.6

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 \cdot x + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.7

Умножим $30$ на $3$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.2.8

Умножим $3$ на $10$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.3

Добавим $10 x^{2}$ и $30 x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.4

Добавим $10 x$ и $90 x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.5.1

Умножим $15$ на $- 2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.5.2

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.5.3

Умножим $- 2$ на $- 40$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.6

Развернем $(- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 x^{2} (2 x) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{2} x - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{1 + 2} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.3

Умножим $- 30$ на $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.4

Умножим $- 30$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.2.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.7

Умножим $- 20$ на $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.8

Умножим $- 20$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.9

Умножим $2$ на $80$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.7.10

Умножим $80$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.8

Вычтем $40 x^{2}$ из $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.1.9

Добавим $- 20 x$ и $160 x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.2

Вычтем $60 x^{3}$ из $30 x^{3}$ .

$- \frac{- 30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.3

Вычтем $70 x^{2}$ из $40 x^{2}$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 100 x + 30 + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.4

Добавим $100 x$ и $140 x$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 30 + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.2.5

Добавим $30$ и $80$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{3}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.2

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.3

Вынесем множитель $10$ из $240 x$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.4

Вынесем множитель $10$ из $110$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.6

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.3.7

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - (3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $24 x$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.9

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.11

Перепишем $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ в виде $- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ .

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 1.14.14

Умножим $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ на $1$ .

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}})$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11$ и $g (x) = {(x^{2} + x + 3)}^{3}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{({(x^{2} + x + 3)}^{3})}^{2}})$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + x + 3)}^{3})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{3 \cdot 2}})$

Этап 2.3.1.2

Умножим $3$ на $2$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{3}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.5

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.6

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.8

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.9

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.11

Умножим $- 24$ на $1$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (- 11)) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.12

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24 + 0) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.3.13

Добавим $9 x^{2} + 6 x - 24$ и $0$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) \frac{d}{d x} {(x^{2} + x + 3)}^{3}}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + x + 3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x + 3$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (3 {(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.5.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{3} (9 x^{2} + 6 x - 24)$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.5.2.2

Вынесем множитель ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ из $- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) ({(x^{2} + x + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + {(x^{2} + x + 3)}^{2} (- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.5.2.3

Вынесем множитель ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + {(x^{2} + x + 3)}^{2} (- 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{6}})$

Этап 2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель ${(x^{2} + x + 3)}^{2}$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{6}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{2} {(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.6.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 10 (\frac{{(x^{2} + x + 3)}^{2} ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3)))}{{(x^{2} + x + 3)}^{2} {(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.6.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2} + x + 3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} (3))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.11

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}})$

Этап 2.11.2

Объединим $10$ и $\frac{(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) - 3 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24) + (- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{10 ((x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.1

Развернем $(x^{2} + x + 3) (9 x^{2} + 6 x - 24)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{10 (x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{2} x^{2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{2 + 2} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + x^{2} (6 x) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{2} x + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.12.3.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} + x^{2} \cdot - 24 + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.5

Перенесем $- 24$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 \cdot x^{2} + x (9 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x \cdot x^{2} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.7

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.7.1

Перенесем $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 (x^{2} x) + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.12.3.1.2.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{2 + 1} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.7.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + x (6 x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x \cdot x + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.2.9.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 (x \cdot x) + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} + x \cdot - 24 + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.10

Перенесем $- 24$ влево от $x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 \cdot x + 3 (9 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.11

Умножим $9$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 3 (6 x) + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.12

Умножим $6$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x + 3 \cdot - 24) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.2.13

Умножим $3$ на $- 24$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 6 x^{3} - 24 x^{2} + 9 x^{3} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.3

Добавим $6 x^{3}$ и $9 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} - 24 x^{2} + 6 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.4

Добавим $- 24 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 27 x^{2} + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.5

Добавим $- 18 x^{2}$ и $27 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 18 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.6

Добавим $- 24 x$ и $18 x$ .

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4} + 15 x^{3} + 9 x^{2} - 6 x - 72) + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{10 (9 x^{4}) + 10 (15 x^{3}) + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.8.1

Умножим $9$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 10 (15 x^{3}) + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.8.2

Умножим $15$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 10 (9 x^{2}) + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.8.3

Умножим $9$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} + 10 (- 6 x) + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.8.4

Умножим $- 6$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x + 10 \cdot - 72 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.8.5

Умножим $10$ на $- 72$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 3 (3 x^{3}) - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.9.1

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 3 (3 x^{2}) - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.9.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} - 3 (- 24 x) - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.9.3

Умножим $- 24$ на $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x - 3 \cdot - 11) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.9.4

Умножим $- 3$ на $- 11$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 ((- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x + 33) (2 x + 1))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.10

Развернем $(- 9 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x + 33) (2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 x^{3} (2 x) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{3} x) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.2

Умножим $x^{3}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 (x \cdot x^{3})) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.2.2

Умножим $x$ на $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.12.3.1.11.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{1 + 3}) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.2.3

Добавим $1$ и $3$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 9 \cdot (2 x^{4}) - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.3

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} \cdot 1 - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2} (2 x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{2} x) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.6.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 (x \cdot x^{2})) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.12.3.1.11.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{1 + 2}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 9 \cdot (2 x^{3}) - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.7

Умножим $- 9$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} \cdot 1 + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.8

Умножим $- 9$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 x (2 x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 x \cdot x) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.10

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.11.10.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 (x \cdot x)) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.10.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 72 \cdot (2 x^{2}) + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.11

Умножим $72$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x \cdot 1 + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.12

Умножим $72$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 33 (2 x) + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.13

Умножим $2$ на $33$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33 \cdot 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.11.14

Умножим $33$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 9 x^{3} - 18 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.12

Вычтем $18 x^{3}$ из $- 9 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} - 9 x^{2} + 144 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.13

Добавим $- 9 x^{2}$ и $144 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} + 135 x^{2} + 72 x + 66 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.14

Добавим $72 x$ и $66 x$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4} - 27 x^{3} + 135 x^{2} + 138 x + 33)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.15

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 10 (- 18 x^{4}) + 10 (- 27 x^{3}) + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.3.1.16.1

Умножим $- 18$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} + 10 (- 27 x^{3}) + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.16.2

Умножим $- 27$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 10 (135 x^{2}) + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.16.3

Умножим $135$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 10 (138 x) + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.16.4

Умножим $138$ на $10$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 10 \cdot 33}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.1.16.5

Умножим $10$ на $33$ .

$f'' (x) = \frac{90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 180 x^{4} - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.2

Вычтем $180 x^{4}$ из $90 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} + 150 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 - 270 x^{3} + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.3

Вычтем $270 x^{3}$ из $150 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 90 x^{2} - 60 x - 720 + 1350 x^{2} + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.4

Добавим $90 x^{2}$ и $1350 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} - 60 x - 720 + 1380 x + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.5

Добавим $- 60 x$ и $1380 x$ .

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 720 + 330}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.3.6

Добавим $- 720$ и $330$ .

$f'' (x) = \frac{- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4

Вынесем множитель $30$ из $- 90 x^{4} - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.4.1

Вынесем множитель $30$ из $- 90 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) - 120 x^{3} + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.2

Вынесем множитель $30$ из $- 120 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 1440 x^{2} + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.3

Вынесем множитель $30$ из $1440 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 1320 x - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.4

Вынесем множитель $30$ из $1320 x$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) - 390}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.5

Вынесем множитель $30$ из $- 390$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.6

Вынесем множитель $30$ из $30 (- 3 x^{4}) + 30 (- 4 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.7

Вынесем множитель $30$ из $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3}) + 30 (48 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2}) + 30 (44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.8

Вынесем множитель $30$ из $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2}) + 30 (44 x)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x) + 30 (- 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.4.9

Вынесем множитель $30$ из $30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x) + 30 (- 13)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 3 x^{4} - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4}) - 4 x^{3} + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4}) - (4 x^{3}) + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{4}) - (4 x^{3})$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3}) + 48 x^{2} + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $48 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3}) - (- 48 x^{2}) + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{4} + 4 x^{3}) - (- 48 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) + 44 x - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.10

Вынесем множитель $- 1$ из $44 x$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) - (- 44 x) - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2}) - (- 44 x)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.12

Перепишем $- 13$ в виде $- 1 (13)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 1 \cdot 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x) - 1 (13)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.14

Перепишем $- (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)$ в виде $- 1 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)$ .

$f'' (x) = \frac{30 (- 1 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13))}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 2.12.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{30 (3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 44 x + 13)}{{(x^{2} + x + 3)}^{4}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$- \frac{d}{d x} [\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}] + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.2

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + x + 3)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

Этап 4.1.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 4.1.3.2

По правилу суммы производная $15 x^{2} + 10 x - 40$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [- 40]$ .

Этап 4.1.3.3

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

Этап 4.1.3.5

Умножим $2$ на $15$ .

Этап 4.1.3.6

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

Этап 4.1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

Этап 4.1.3.8

Умножим $10$ на $1$ .

Этап 4.1.3.9

Поскольку $- 40$ является константой относительно $x$ , производная $- 40$ относительно $x$ равна $0$ .

Этап 4.1.3.10

Добавим $30 x + 10$ и $0$ .

Этап 4.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + x + 3$ .

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

Этап 4.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + x + 3$ .

Этап 4.1.5

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

Этап 4.1.5.2

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{2} (30 x + 10)$ .

Этап 4.1.5.2.2

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из $- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) ((x^{2} + x + 3) \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])$ .

Этап 4.1.5.2.3

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из $(x^{2} + x + 3) ((x^{2} + x + 3) (30 x + 10)) + (x^{2} + x + 3) (- 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3]))$ .

Этап 4.1.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Вынесем множитель $x^{2} + x + 3$ из ${(x^{2} + x + 3)}^{4}$ .

Этап 4.1.6.2

Сократим общий множитель.

Этап 4.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (\frac{d}{d x} [x^{2} + x + 3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.7

По правилу суммы производная $x^{2} + x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

Этап 4.1.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

Этап 4.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.10

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1 + 0)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.11

Добавим $2 x + 1$ и $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 4.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}} \cdot 0$

Этап 4.1.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.13.1

Умножим $\frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ на $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} + 0$

Этап 4.1.13.2

Добавим $- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ и $0$ .

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) - 2 (15 x^{2} + 10 x - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{(x^{2} + x + 3) (30 x + 10) + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.1

Развернем $(x^{2} + x + 3) (30 x + 10)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- \frac{x^{2} (30 x) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{2} x + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.2.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{30 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{30 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + x^{2} \cdot 10 + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.3

Перенесем $10$ влево от $x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 \cdot x^{2} + x (30 x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x \cdot x + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.2.5.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 (x \cdot x) + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + x \cdot 10 + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.6

Перенесем $10$ влево от $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 \cdot x + 3 (30 x) + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.7

Умножим $30$ на $3$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 3 \cdot 10 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.2.8

Умножим $3$ на $10$ .

$- \frac{30 x^{3} + 10 x^{2} + 30 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.3

Добавим $10 x^{2}$ и $30 x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 10 x + 90 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.4

Добавим $10 x$ и $90 x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 2 (15 x^{2}) - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.5.1

Умножим $15$ на $- 2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 2 (10 x) - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.5.2

Умножим $10$ на $- 2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x - 2 \cdot - 40) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.5.3

Умножим $- 2$ на $- 40$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 + (- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.6

Развернем $(- 30 x^{2} - 20 x + 80) (2 x + 1)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 x^{2} (2 x) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{2} x - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.7.2.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{1 + 2} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 30 \cdot 2 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.3

Умножим $- 30$ на $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} \cdot 1 - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.4

Умножим $- 30$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 x (2 x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x \cdot x - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.2.1.7.6.1

Перенесем $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 (x \cdot x) - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 20 \cdot 2 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.7

Умножим $- 20$ на $2$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x \cdot 1 + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.8

Умножим $- 20$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 80 (2 x) + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.9

Умножим $2$ на $80$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80 \cdot 1}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.7.10

Умножим $80$ на $1$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 30 x^{2} - 40 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.8

Вычтем $40 x^{2}$ из $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} - 20 x + 160 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.1.9

Добавим $- 20 x$ и $160 x$ .

$- \frac{30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 60 x^{3} - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.2

Вычтем $60 x^{3}$ из $30 x^{3}$ .

$- \frac{- 30 x^{3} + 40 x^{2} + 100 x + 30 - 70 x^{2} + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.3

Вычтем $70 x^{2}$ из $40 x^{2}$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 100 x + 30 + 140 x + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.4

Добавим $100 x$ и $140 x$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 30 + 80}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.2.5

Добавим $30$ и $80$ .

$- \frac{- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{3} - 30 x^{2} + 240 x + 110$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{3}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) - 30 x^{2} + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.2

Вынесем множитель $10$ из $- 30 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 240 x + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.3

Вынесем множитель $10$ из $240 x$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 110}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.4

Вынесем множитель $10$ из $110$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.5

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3}) + 10 (- 3 x^{2})$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.6

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2}) + 10 (24 x)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.3.7

Вынесем множитель $10$ из $10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x) + 10 (11)$ .

$- \frac{10 (- 3 x^{3} - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - 3 x^{2} + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 x^{2}$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3}) - (3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3}) - (3 x^{2})$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) + 24 x + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $24 x$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3} + 3 x^{2}) - (- 24 x)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) + 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.9

Перепишем $11$ в виде $- 1 (- 11)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x) - 1 (- 11)$ .

$- \frac{10 (- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.11

Перепишем $- (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ в виде $- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)$ .

$- \frac{10 (- 1 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11))}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.13

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.1.14.14

Умножим $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$ .

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{10 (3 x^{3} + 3 x^{2} - 24 x - 11)}{{(x^{2} + x + 3)}^{3}} = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 3.16283747, - 0.44460978, 2.60744726$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 3.16283747, - 0.44460978, 2.60744726$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 3.16283747$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{30 (3 {(- 3.16283747)}^{4} + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{30 (3 {(- 3.16283747)}^{4} + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $- 3.16283747$ в степень $4$ .

$- \frac{30 (3 \cdot 100.07083047 + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.2

Умножим $3$ на $100.07083047$ .

$- \frac{30 (300.21249141 + 4 {(- 3.16283747)}^{3} - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.3

Возведем $- 3.16283747$ в степень $3$ .

$- \frac{30 (300.21249141 + 4 \cdot - 31.63957403 - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.4

Умножим $4$ на $- 31.63957403$ .

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 48 {(- 3.16283747)}^{2} - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.5

Возведем $- 3.16283747$ в степень $2$ .

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 48 \cdot 10.00354089 - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.6

Умножим $- 48$ на $10.00354089$ .

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 480.16996303 - 44 \cdot - 3.16283747 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.7

Умножим $- 44$ на $- 3.16283747$ .

$- \frac{30 (300.21249141 - 126.55829614 - 480.16996303 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.8

Вычтем $126.55829614$ из $300.21249141$ .

$- \frac{30 (173.65419526 - 480.16996303 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.9

Вычтем $480.16996303$ из $173.65419526$ .

$- \frac{30 (- 306.51576777 + 139.16484892 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.10

Добавим $- 306.51576777$ и $139.16484892$ .

$- \frac{30 (- 167.35091884 + 13)}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.2.11

Добавим $- 167.35091884$ и $13$ .

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $- 3.16283747$ в степень $2$ .

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{(10.00354089 - 3.16283747 + 3)}^{4}}$

Этап 9.3.2

Вычтем $3.16283747$ из $10.00354089$ .

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{(6.84070342 + 3)}^{4}}$

Этап 9.3.3

Добавим $6.84070342$ и $3$ .

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{{9.84070342}^{4}}$

Этап 9.3.4

Возведем $9.84070342$ в степень $4$ .

$- \frac{30 \cdot - 154.35091884}{9377.87787987}$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $30$ на $- 154.35091884$ .

$- \frac{- 4630.5275654}{9377.87787987}$

Этап 9.4.2

Разделим $- 4630.5275654$ на $9377.87787987$ .

$- - 0.49377136$

Этап 9.4.3

Умножим $- 1$ на $- 0.49377136$ .

$0.49377136$

Этап 10

$x = - 3.16283747$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 3.16283747$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 3.16283747$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.16283747$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 {(- 3.16283747)}^{2} + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 {(- 3.16283747)}^{2} + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $- 3.16283747$ в степень $2$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{15 \cdot 10.00354089 + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Умножим $15$ на $10.00354089$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{150.05311344 + 10 (- 3.16283747) - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2.3

Умножим $10$ на $- 3.16283747$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{150.05311344 - 31.62837475 - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2.4

Вычтем $31.62837475$ из $150.05311344$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{118.42473869 - 40}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.2.5

Вычтем $40$ из $118.42473869$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{({(- 3.16283747)}^{2} - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $- 3.16283747$ в степень $2$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{(10.00354089 - 3.16283747 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.3.2

Вычтем $3.16283747$ из $10.00354089$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{(6.84070342 + 3)}^{2}}$

Этап 11.2.3.3

Добавим $6.84070342$ и $3$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{{9.84070342}^{2}}$

Этап 11.2.3.4

Возведем $9.84070342$ в степень $2$ .

$f (- 3.16283747) = - \frac{78.42473869}{96.83944382}$

Этап 11.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Разделим $78.42473869$ на $96.83944382$ .

$f (- 3.16283747) = - 1 \cdot 0.80984292$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 1$ на $0.80984292$ .

$f (- 3.16283747) = - 0.80984292$

Этап 11.2.5

Окончательный ответ: $- 0.80984292$ .

$y = - 0.80984292$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 0.44460978$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{30 (3 {(- 0.44460978)}^{4} + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{30 (3 {(- 0.44460978)}^{4} + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $- 0.44460978$ в степень $4$ .

$- \frac{30 (3 \cdot 0.03907653 + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.2

Умножим $3$ на $0.03907653$ .

$- \frac{30 (0.11722961 + 4 {(- 0.44460978)}^{3} - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.3

Возведем $- 0.44460978$ в степень $3$ .

$- \frac{30 (0.11722961 + 4 \cdot - 0.08788951 - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.4

Умножим $4$ на $- 0.08788951$ .

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 48 {(- 0.44460978)}^{2} - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.5

Возведем $- 0.44460978$ в степень $2$ .

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 48 \cdot 0.19767786 - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.6

Умножим $- 48$ на $0.19767786$ .

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 9.48853751 - 44 \cdot - 0.44460978 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.7

Умножим $- 44$ на $- 0.44460978$ .

$- \frac{30 (0.11722961 - 0.35155805 - 9.48853751 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.8

Вычтем $0.35155805$ из $0.11722961$ .

$- \frac{30 (- 0.23432844 - 9.48853751 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.9

Вычтем $9.48853751$ из $- 0.23432844$ .

$- \frac{30 (- 9.72286595 + 19.56283073 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.10

Добавим $- 9.72286595$ и $19.56283073$ .

$- \frac{30 (9.83996478 + 13)}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.2.11

Добавим $9.83996478$ и $13$ .

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $- 0.44460978$ в степень $2$ .

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{(0.19767786 - 0.44460978 + 3)}^{4}}$

Этап 13.3.2

Вычтем $0.44460978$ из $0.19767786$ .

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{(- 0.24693192 + 3)}^{4}}$

Этап 13.3.3

Добавим $- 0.24693192$ и $3$ .

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{{2.75306807}^{4}}$

Этап 13.3.4

Возведем $2.75306807$ в степень $4$ .

$- \frac{30 \cdot 22.83996478}{57.44705921}$

Этап 13.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $30$ на $22.83996478$ .

$- \frac{685.19894343}{57.44705921}$

Этап 13.4.2

Разделим $685.19894343$ на $57.44705921$ .

$- 1 \cdot 11.92748511$

Этап 13.4.3

Умножим $- 1$ на $11.92748511$ .

$- 11.92748511$

Этап 14

$x = - 0.44460978$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 0.44460978$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 0.44460978$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.44460978$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 {(- 0.44460978)}^{2} + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Избавимся от скобок.

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 {(- 0.44460978)}^{2} + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $- 0.44460978$ в степень $2$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{15 \cdot 0.19767786 + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.2.2

Умножим $15$ на $0.19767786$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{2.96516797 + 10 (- 0.44460978) - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.2.3

Умножим $10$ на $- 0.44460978$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{2.96516797 - 4.44609789 - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.2.4

Вычтем $4.44609789$ из $2.96516797$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 1.48092992 - 40}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.2.5

Вычтем $40$ из $- 1.48092992$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{({(- 0.44460978)}^{2} - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Возведем $- 0.44460978$ в степень $2$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{(0.19767786 - 0.44460978 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.3.2

Вычтем $0.44460978$ из $0.19767786$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{(- 0.24693192 + 3)}^{2}}$

Этап 15.2.3.3

Добавим $- 0.24693192$ и $3$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{{2.75306807}^{2}}$

Этап 15.2.3.4

Возведем $2.75306807$ в степень $2$ .

$f (- 0.44460978) = - \frac{- 41.48092992}{7.57938382}$

Этап 15.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Разделим $- 41.48092992$ на $7.57938382$ .

$f (- 0.44460978) = 5.47286308$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 5.47286308$ .

$f (- 0.44460978) = 5.47286308$

Этап 15.2.5

Окончательный ответ: $5.47286308$ .

$y = 5.47286308$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 2.60744726$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{30 (3 {(2.60744726)}^{4} + 4 {(2.60744726)}^{3} - 48 {(2.60744726)}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Избавимся от скобок.

$- \frac{30 (3 {(2.60744726)}^{4} + 4 {(2.60744726)}^{3} - 48 {(2.60744726)}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Возведем $2.60744726$ в степень $4$ .

$- \frac{30 (3 \cdot 46.22342645 + 4 \cdot {2.60744726}^{3} - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.2

Умножим $3$ на $46.22342645$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 4 \cdot {2.60744726}^{3} - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.3

Возведем $2.60744726$ в степень $3$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 4 \cdot 17.72746358 - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.4

Умножим $4$ на $17.72746358$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 48 \cdot {2.60744726}^{2} - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.5

Возведем $2.60744726$ в степень $2$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 48 \cdot 6.79878124 - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.6

Умножим $- 48$ на $6.79878124$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 326.3414999 - 44 \cdot 2.60744726 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.7

Умножим $- 44$ на $2.60744726$ .

$- \frac{30 (138.67027937 + 70.90985432 - 326.3414999 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.8

Добавим $138.67027937$ и $70.90985432$ .

$- \frac{30 (209.58013369 - 326.3414999 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.9

Вычтем $326.3414999$ из $209.58013369$ .

$- \frac{30 (- 116.7613662 - 114.72767972 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.10

Вычтем $114.72767972$ из $- 116.7613662$ .

$- \frac{30 (- 231.48904593 + 13)}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.2.11

Добавим $- 231.48904593$ и $13$ .

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Возведем $2.60744726$ в степень $2$ .

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{(6.79878124 + 2.60744726 + 3)}^{4}}$

Этап 17.3.2

Добавим $6.79878124$ и $2.60744726$ .

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{(9.40622851 + 3)}^{4}}$

Этап 17.3.3

Добавим $9.40622851$ и $3$ .

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{{12.40622851}^{4}}$

Этап 17.3.4

Возведем $12.40622851$ в степень $4$ .

$- \frac{30 \cdot - 218.48904593}{23689.67514359}$

Этап 17.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Умножим $30$ на $- 218.48904593$ .

$- \frac{- 6554.67137803}{23689.67514359}$

Этап 17.4.2

Разделим $- 6554.67137803$ на $23689.67514359$ .

$- - 0.27668895$

Этап 17.4.3

Умножим $- 1$ на $- 0.27668895$ .

$0.27668895$

Этап 18

$x = 2.60744726$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2.60744726$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 2.60744726$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.60744726$ .

$f (2.60744726) = - \frac{15 {(2.60744726)}^{2} + 10 (2.60744726) - 40}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Избавимся от скобок.

$f (2.60744726) = - \frac{15 {(2.60744726)}^{2} + 10 (2.60744726) - 40}{{({(2.60744726)}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Возведем $2.60744726$ в степень $2$ .

$f (2.60744726) = - \frac{15 \cdot 6.79878124 + 10 (2.60744726) - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.2.2

Умножим $15$ на $6.79878124$ .

$f (2.60744726) = - \frac{101.98171871 + 10 (2.60744726) - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.2.3

Умножим $10$ на $2.60744726$ .

$f (2.60744726) = - \frac{101.98171871 + 26.07447266 - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.2.4

Добавим $101.98171871$ и $26.07447266$ .

$f (2.60744726) = - \frac{128.05619138 - 40}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.2.5

Вычтем $40$ из $128.05619138$ .

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{({2.60744726}^{2} + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.3.1

Возведем $2.60744726$ в степень $2$ .

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{(6.79878124 + 2.60744726 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.3.2

Добавим $6.79878124$ и $2.60744726$ .

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{(9.40622851 + 3)}^{2}}$

Этап 19.2.3.3

Добавим $9.40622851$ и $3$ .

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{{12.40622851}^{2}}$

Этап 19.2.3.4

Возведем $12.40622851$ в степень $2$ .

$f (2.60744726) = - \frac{88.05619138}{153.91450595}$

Этап 19.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.4.1

Разделим $88.05619138$ на $153.91450595$ .

$f (2.60744726) = - 1 \cdot 0.57211106$

Этап 19.2.4.2

Умножим $- 1$ на $0.57211106$ .

$f (2.60744726) = - 0.57211106$

Этап 19.2.5

Окончательный ответ: $- 0.57211106$ .

$y = - 0.57211106$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = - \frac{15 x^{2} + 10 x - 40}{{(x^{2} + x + 3)}^{2}}$ .

$(- 3.16283747, - 0.80984292)$ — локальный минимум

$(- 0.44460978, 5.47286308)$ — локальный максимум

$(2.60744726, - 0.57211106)$ — локальный минимум

Этап 21