Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{3} x^{3}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} + 6 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} + 6 x + 8 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$x^{2} + 6 x + 8$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 6 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $1$ .

$f'' (x) = 2 x + 6 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 6 + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $2 x + 6$ и $0$ .

$f'' (x) = 2 x + 6$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2.3

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{3}{3}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (8 x)$

Этап 4.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8 \cdot 1$

Этап 4.1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (x) = x^{2} + 6 x + 8$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} + 6 x + 8$ .

$x^{2} + 6 x + 8$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} + 6 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} + 6 x + 8 = 0$

Этап 5.2

Разложим $x^{2} + 6 x + 8$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $8$ , а сумма — $6$ .

$2, 4$

Этап 5.2.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$(x + 2) (x + 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x + 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x + 2$ к $0$ .

$x + 2 = 0$

Этап 5.4.2

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$x = - 2$

Этап 5.5

Приравняем $x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 4$ к $0$ .

$x + 4 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$x = - 4$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x + 2) (x + 4) = 0$ верно.

$x = - 2, - 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 2, - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 2) + 6$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 + 6$

Этап 9.2

Добавим $- 4$ и $6$ .

$2$

Этап 10

$x = - 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{1}{3} \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

Этап 11.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 8$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

Этап 11.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 8 (- 2)$

Этап 11.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 3 \cdot 4 + 8 (- 2)$

Этап 11.2.1.5

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 12 + 8 (- 2)$

Этап 11.2.1.6

Умножим $8$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + 12 - 16$

Этап 11.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Запишем $12$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12}{1} - 16$

Этап 11.2.2.2

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12}{1} \cdot \frac{3}{3} - 16$

Этап 11.2.2.3

Умножим $\frac{12}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} - 16$

Этап 11.2.2.4

Запишем $- 16$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1}$

Этап 11.2.2.5

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 11.2.2.6

Умножим $\frac{- 16}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{8}{3} + \frac{12 \cdot 3}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 \cdot 3 - 16 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.4.1

Умножим $12$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 16 \cdot 3}{3}$

Этап 11.2.4.2

Умножим $- 16$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 48}{3}$

Этап 11.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Добавим $- 8$ и $36$ .

$f (- 2) = \frac{28 - 48}{3}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $48$ из $28$ .

$f (- 2) = \frac{- 20}{3}$

Этап 11.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{20}{3}$

Этап 11.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{20}{3}$ .

$y = - \frac{20}{3}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 (- 4) + 6$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$- 8 + 6$

Этап 13.2

Добавим $- 8$ и $6$ .

$- 2$

Этап 14

$x = - 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{1}{3} \cdot {(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f (- 4) = \frac{1}{3} \cdot - 64 + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

Этап 15.2.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 64$ .

$f (- 4) = \frac{- 64}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

Этап 15.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 8 (- 4)$

Этап 15.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 3 \cdot 16 + 8 (- 4)$

Этап 15.2.1.5

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 48 + 8 (- 4)$

Этап 15.2.1.6

Умножим $8$ на $- 4$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + 48 - 32$

Этап 15.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Запишем $48$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48}{1} - 32$

Этап 15.2.2.2

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48}{1} \cdot \frac{3}{3} - 32$

Этап 15.2.2.3

Умножим $\frac{48}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} - 32$

Этап 15.2.2.4

Запишем $- 32$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32}{1}$

Этап 15.2.2.5

Умножим $\frac{- 32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 15.2.2.6

Умножим $\frac{- 32}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = - \frac{64}{3} + \frac{48 \cdot 3}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{- 64 + 48 \cdot 3 - 32 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Умножим $48$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 32 \cdot 3}{3}$

Этап 15.2.4.2

Умножим $- 32$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 96}{3}$

Этап 15.2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Добавим $- 64$ и $144$ .

$f (- 4) = \frac{80 - 96}{3}$

Этап 15.2.5.2

Вычтем $96$ из $80$ .

$f (- 4) = \frac{- 16}{3}$

Этап 15.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4) = - \frac{16}{3}$

Этап 15.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{16}{3}$ .

$y = - \frac{16}{3}$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 8 x$ .

$(- 2, - \frac{20}{3})$ — локальный минимум

$(- 4, - \frac{16}{3})$ — локальный максимум

Этап 17