Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{1}{2} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2} - \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \cos (x)$

Этап 2.2.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Этап 2.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 0 + 1 \sin (x)$

Этап 2.2.4

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + \sin (x)$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$f'' (x) = \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{1}{2} - \cos (x) = 0$

Этап 4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - \frac{1}{2}$

Этап 5

Разделим каждый член $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - \frac{1}{2}$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 5.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Этап 5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Этап 5.3.2

Разделим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Этап 6

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Этап 7

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Точное значение $\arccos (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Этап 8

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Этап 9

Упростим $2 π - \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Этап 9.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Умножим $3$ на $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Этап 9.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Этап 10

Решение уравнения $x = \frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\sin (\frac{π}{3})$

Этап 12

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13

$x = \frac{π}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{3}$ — локальный минимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{π}{3}) - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Умножим $\frac{1}{2} (\frac{π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{π}{3}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 14.2.1.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 14.2.1.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{3}) = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 14.2.2

Окончательный ответ: $\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- \sin (\frac{π}{3})$

Этап 16.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17

$x = \frac{5 π}{3}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{3}$ — локальный максимум

Этап 18

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{5 π}{3}) - \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 18.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1

Умножим $\frac{1}{2} (\frac{5 π}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{5 π}{3}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{2 \cdot 3} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 18.2.1.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} - \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 18.2.1.2

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 18.2.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 18.2.1.4

Умножим $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + 1 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 18.2.1.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $1$ .

$f (\frac{5 π}{3}) = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 18.2.2

Окончательный ответ: $\frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 19

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{2} x - \sin (x)$ .

$(\frac{π}{3}, \frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{2})$ — локальный минимум

$(\frac{5 π}{3}, \frac{5 π}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2})$ — локальный максимум

Этап 20