Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $\frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{4} x^{4}$ по $x$ равна $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x^{3} - 1$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

Этап 2.4

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{3} - 1 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{4} x^{4} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.4

Объединим $\frac{4}{4}$ и $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.2.5.2

Разделим $x^{3}$ на $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 1$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{3} - 1$ .

$x^{3} - 1$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{3} - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Этап 5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{3} = 1$

Этап 5.3

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{3} - 1 = 0$

Этап 5.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Умножим $x$ на $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Этап 5.4.3.2

Единица в любой степени равна единице.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Этап 5.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Приравняем $x^{2} + x + 1$ к $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Этап 5.7.2

Решим $x^{2} + x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 1$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.4.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.4.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.4.5

Вынесем множитель $- 1$ из $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.7.2.4.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.7.2.4.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.3

Вычтем $4$ из $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.4

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (3)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 5.7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.5.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.5.4

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.7.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Этап 5.7.2.5.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 5.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ верно.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$3 {(1)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1$

Этап 9.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $4$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{3}{4}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ .

$(1, - \frac{3}{4})$ — локальный минимум

Этап 13