Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим $\frac{10}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.2

Умножим $\frac{10 x^{3}}{3}$ на $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.3

Умножим $51$ на $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5

Сократим общий множитель $510$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Вынесем множитель $6$ из $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.5.2.4

Разделим $85 x^{3}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.7

Поскольку $85$ является константой относительно $x$ , производная $85 x^{5}$ по $x$ равна $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.2.9

Умножим $5$ на $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $425 x^{4} + 5$ и $0$ .

$425 x^{4} + 5$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $425 x^{4} + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $425$ является константой относительно $x$ , производная $425 x^{4}$ по $x$ равна $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $425$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $1700 x^{3}$ и $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$425 x^{4} + 5 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Объединим $\frac{10}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.2

Умножим $\frac{10 x^{3}}{3}$ на $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $51$ на $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.4

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.5

Сократим общий множитель $510$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Вынесем множитель $6$ из $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.5.2.4

Разделим $85 x^{3}$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.6

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.7

Поскольку $85$ является константой относительно $x$ , производная $85 x^{5}$ по $x$ равна $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.2.9

Умножим $5$ на $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $425 x^{4} + 5$ и $0$ .

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $425 x^{4} + 5$ .

$425 x^{4} + 5$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $425 x^{4} + 5 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$425 x^{4} + 5 = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$425 x^{4} = - 5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $425 x^{4} = - 5$ на $425$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $425 x^{4} = - 5$ на $425$ .

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $425$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Сократим общий множитель $- 5$ и $425$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.1

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

Этап 5.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $425$ .

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Этап 5.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Этап 5.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

Этап 5.3.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

Этап 5.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Этап 5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Этап 5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Этап 5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ в виде $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

Этап 9.2

Применим правило умножения к $- \frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Этап 9.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Этап 9.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

Этап 9.5

Единица в любой степени равна единице.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

Этап 9.6

Возведем $85$ в степень $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, \infty)$ в первую производную $425 x^{4} + 5$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $425$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 5$

Этап 10.2.2.2

Добавим $0$ и $5$ .

$f' (0) = 5$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $5$ .

$5$

Этап 10.3

Локальный минимум или минимум для $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11