Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x^{7}}{e^{x}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{3 x^{7}}{e^{x}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{7}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 1.5

Объединим $3$ и $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.2.1.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.2.2

Изменим порядок множителей в $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.4.2

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.4.3

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Этап 1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Этап 1.6.5.2.4

Разделим $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ на $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Этап 1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Этап 1.6.7

Умножим $7$ на $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Этап 1.6.8

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.1

Перенесем $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Этап 1.6.8.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Этап 1.6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Этап 1.6.8.3

Добавим $1$ и $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Этап 1.6.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Этап 1.6.10

Изменим порядок множителей в $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (21 x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [21 x^{6} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $21$ является константой относительно $x$ , производная $21 x^{6} e^{- x}$ по $x$ равна $21 \frac{d}{d x} [x^{6} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 \frac{d}{d x} (x^{6} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{6})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.2.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{7} e^{- x})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{7} e^{- x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{7} e^{- x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{- x})$

Этап 2.3.2

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- x$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 2.3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.8

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.3.9

Перепишем $- 1 e^{- x}$ в виде $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x}) + e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x}) + e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 21 (x^{6} (- e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $21$ .

$f'' (x) = - 21 (x^{6} (e^{- x})) + 21 (e^{- x} (6 x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4.3.2

Умножим $6$ на $21$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 (e^{- x} (x^{5})) - 3 (x^{7} (- e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4.3.3

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 (x^{7} (e^{- x})) - 3 (e^{- x} (7 x^{6}))$

Этап 2.4.3.4

Умножим $7$ на $- 3$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x} - 21 (e^{- x} (x^{6}))$

Этап 2.4.3.5

Вычтем $21 e^{- x} x^{6}$ из $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.5.1

Перенесем $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 21 x^{6} e^{- x} - 21 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 2.4.3.5.2

Вычтем $21 x^{6} e^{- x}$ из $- 21 x^{6} e^{- x}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = - 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $- 42 e^{- x} x^{6} + 126 e^{- x} x^{5} + 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f'' (x) = - 42 x^{6} e^{- x} + 126 x^{5} e^{- x} + 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$3 \frac{d}{d x} [\frac{x^{7}}{e^{x}}]$

Этап 4.1.2

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 4.1.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{7}] - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.4

$3 \frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.5

Объединим $3$ и $\frac{e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6}) - x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (e^{x} (7 x^{6})) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 (7 e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.2.1.2

Умножим $7$ на $3$ .

$\frac{21 (e^{x} x^{6}) + 3 (- x^{7} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.2.2

Изменим порядок множителей в $21 e^{x} x^{6} - 3 x^{7} e^{x}$ .

$\frac{21 x^{6} e^{x} - 3 x^{7} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $21 e^{x} x^{6} - 3 e^{x} x^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $21 e^{x} x^{6}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) - 3 e^{x} x^{7}}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.4.2

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $- 3 e^{x} x^{7}$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.4.3

Вынесем множитель $3 e^{x} x^{6}$ из $3 e^{x} x^{6} (7) + 3 e^{x} x^{6} (- x)$ .

$\frac{3 e^{x} x^{6} (7 - x)}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $3 e^{x} x^{6} (7 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x}}$

Этап 4.1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (3 e^{- x} x^{6} (7 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 4.1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 e^{- x} x^{6} (7 - x)}{1}$

Этап 4.1.6.5.2.4

Разделим $3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$ на $1$ .

$3 e^{- x} x^{6} (7 - x)$

Этап 4.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$3 e^{- x} x^{6} \cdot 7 + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Этап 4.1.6.7

Умножим $7$ на $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{6} (- x)$

Этап 4.1.6.8

Умножим $x^{6}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.8.1

Перенесем $x$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x \cdot x^{6}) \cdot - 1$

Этап 4.1.6.8.2

Умножим $x$ на $x^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.8.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} (x^{1} x^{6}) \cdot - 1$

Этап 4.1.6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{1 + 6} \cdot - 1$

Этап 4.1.6.8.3

Добавим $1$ и $6$ .

$21 e^{- x} x^{6} + 3 e^{- x} x^{7} \cdot - 1$

Этап 4.1.6.9

Умножим $- 1$ на $3$ .

$21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$

Этап 4.1.6.10

Изменим порядок множителей в $21 e^{- x} x^{6} - 3 e^{- x} x^{7}$ .

$f' (x) = 21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 x^{6} e^{- x}$ из $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 x^{6} e^{- x}$ из $21 x^{6} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) - 3 x^{7} e^{- x} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 x^{6} e^{- x}$ из $- 3 x^{7} e^{- x}$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 x^{6} e^{- x}$ из $3 x^{6} e^{- x} (7) + 3 x^{6} e^{- x} (- x)$ .

$3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{6} = 0$

$e^{- x} = 0$

$7 - x = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{6}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{6}$ к $0$ .

$x^{6} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{6} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt[6]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt[6]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{6}$ .

$x = \pm \sqrt[6]{0^{6}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $e^{- x}$ к $0$ .

$e^{- x} = 0$

Этап 5.5.2

Решим $e^{- x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Этап 5.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.5.2.3

Нет решения для $e^{- x} = 0$

Нет решения

Этап 5.6

Приравняем $7 - x$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $7 - x$ к $0$ .

$7 - x = 0$

Этап 5.6.2

Решим $7 - x = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Вычтем $7$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 7$

Этап 5.6.2.2

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 7$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 5.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 5.6.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 7}{- 1}$

Этап 5.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.2.3.1

Разделим $- 7$ на $- 1$ .

$x = 7$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x^{6} e^{- x} (7 - x) = 0$ верно.

$x = 0, 7$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 7$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 42 {(0)}^{6} e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 42 \cdot 0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.2

Умножим $- 42$ на $0$ .

$0 e^{- (0)} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.3

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 e^{0} + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.4

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.5

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 126 {(0)}^{5} e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.6

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 126 \cdot 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.7

Умножим $126$ на $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.8

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.9

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.10

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 3 {(0)}^{7} e^{- (0)}$

Этап 9.1.11

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 3 \cdot 0 e^{- (0)}$

Этап 9.1.12

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Этап 9.1.13

Умножим $- 1$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 9.1.14

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 9.1.15

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 9.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, 7) \cup (7, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 21 {(- 2)}^{6} e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $6$ .

$f' (- 2) = 21 \cdot (64 e^{- (- 2)}) - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $21$ на $64$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{- (- 2)} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 {(- 2)}^{7} e^{- (- 2)}$

Этап 10.2.2.1.4

Возведем $- 2$ в степень $7$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} - 3 \cdot (- 128 e^{- (- 2)})$

Этап 10.2.2.1.5

Умножим $- 3$ на $- 128$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{- (- 2)}$

Этап 10.2.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 1344 e^{2} + 384 e^{2}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $1344 e^{2}$ и $384 e^{2}$ .

$f' (- 2) = 1728 e^{2}$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $1728 e^{2}$ .

$1728 e^{2}$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(0, 7)$ в первую производную $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 21 {(4)}^{6} e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $4$ в степень $6$ .

$f' (4) = 21 \cdot (4096 e^{- (4)}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $21$ на $4096$ .

$f' (4) = 86016 e^{- (4)} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = 86016 e^{- 4} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = 86016 (\frac{1}{e^{4}}) - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.5

Объединим $86016$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 {(4)}^{7} e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.6

Возведем $4$ в степень $7$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 3 \cdot (16384 e^{- (4)})$

Этап 10.3.2.1.7

Умножим $- 3$ на $16384$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- (4)}$

Этап 10.3.2.1.8

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 e^{- 4}$

Этап 10.3.2.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - 49152 \frac{1}{e^{4}}$

Этап 10.3.2.1.10

Объединим $- 49152$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} + \frac{- 49152}{e^{4}}$

Этап 10.3.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (4) = \frac{86016}{e^{4}} - \frac{49152}{e^{4}}$

Этап 10.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (4) = \frac{86016 - 49152}{e^{4}}$

Этап 10.3.2.2.2

Вычтем $49152$ из $86016$ .

$f' (4) = \frac{36864}{e^{4}}$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{36864}{e^{4}}$ .

$\frac{36864}{e^{4}}$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $10$ , из интервала $(7, \infty)$ в первую производную $21 x^{6} e^{- x} - 3 x^{7} e^{- x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f' (10) = 21 {(10)}^{6} e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $10$ в степень $6$ .

$f' (10) = 21 \cdot (1000000 e^{- (10)}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $21$ на $1000000$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- (10)} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f' (10) = 21000000 e^{- 10} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = 21000000 (\frac{1}{e^{10}}) - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.5

Объединим $21000000$ и $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 {(10)}^{7} e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.6

Возведем $10$ в степень $7$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 3 \cdot (10000000 e^{- (10)})$

Этап 10.4.2.1.7

Умножим $- 3$ на $10000000$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- (10)}$

Этап 10.4.2.1.8

Умножим $- 1$ на $10$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 e^{- 10}$

Этап 10.4.2.1.9

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - 30000000 \frac{1}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.1.10

Объединим $- 30000000$ и $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} + \frac{- 30000000}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.1.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (10) = \frac{21000000}{e^{10}} - \frac{30000000}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (10) = \frac{21000000 - 30000000}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.2.2.1

Вычтем $30000000$ из $21000000$ .

$f' (10) = \frac{- 9000000}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (10) = - \frac{9000000}{e^{10}}$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{9000000}{e^{10}}$ .

$- \frac{9000000}{e^{10}}$

Этап 10.5

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 7$ , $x = 7$ — локальный максимум.

$x = 7$ — локальный максимум

Этап 11