Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Этап 1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Этап 1.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.5.2.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Этап 1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.6.2.2

Изменим порядок множителей в $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Этап 1.6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.6.4

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.4.1

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 1.6.4.2

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Этап 1.6.4.3

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Этап 1.6.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Этап 1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Этап 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Этап 2.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Этап 2.3.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.5.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.5.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.5.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.6

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Этап 2.7.2

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Этап 2.7.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Этап 2.7.2.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Этап 2.7.2.2.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Этап 2.8

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Этап 2.8.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Этап 2.8.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Этап 2.9

Объединим $4$ и $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Этап 2.10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Этап 2.10.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.1.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.1.2

Умножим $x$ на $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.3

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.4

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.5

Умножим $- 4$ на $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.1.6

Умножим $20$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.2

Вычтем $16 x e^{x}$ из $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.3

Вычтем $20 e^{x} x$ из $- 12 x e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.5.3.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.5.3.2

Вычтем $20 x e^{x}$ из $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.6

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.1

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.7.1.1

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.7.1.2

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Этап 2.10.7.1.3

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Этап 2.10.7.1.4

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Этап 2.10.7.1.5

Вынесем множитель $4 e^{x}$ из $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Этап 2.10.7.2

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Этап 4.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Этап 4.1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Этап 4.1.4

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Этап 4.1.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.2.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Этап 4.1.5.2.2

Объединим $4$ и $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.2.2

Изменим порядок множителей в $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.4

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.4.1

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.4.2

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.4.3

Вынесем множитель $4 e^{x} x^{3}$ из $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Этап 4.1.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.5.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 4.1.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Этап 4.1.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.2

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.3.2.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.3.2.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.3.2.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.3.3

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 5.3.3.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 5.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 e^{x} (x - 4) = 0$ верно.

$x = 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{5} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель $4$ и ${(4)}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Этап 9.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Этап 9.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Этап 9.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Этап 9.2.2

Умножим $- 8$ на $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Этап 9.2.3

Вычтем $32$ из $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Этап 9.2.4

Добавим $- 16$ и $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Этап 9.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Этап 9.3.2

Сократим общий множитель $4$ и $1024$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.1

Вынесем множитель $4$ из $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Этап 9.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Этап 9.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Этап 9.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{e^{4}}{256}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Сократим общий множитель $4$ и ${(4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Этап 11.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Этап 11.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Этап 11.2.2

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ — локальный минимум

Этап 13