Математический анализ Примеры

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{- 7} + x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Объединим $- 7$ и $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x^{6}$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Этап 2.2.3

Умножим $6$ на $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{7}{x^{8}}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{8}}$ в виде ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Этап 2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{8})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Этап 2.3.5.2

Умножим $8$ на $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Этап 2.3.6

Умножим $8$ на $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Этап 2.3.7

Умножим $x^{- 16}$ на $x^{7}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перенесем $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Этап 2.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Этап 2.3.7.3

Вычтем $16$ из $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Этап 2.3.8

Умножим $- 8$ на $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Этап 2.4.2

Объединим $56$ и $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Этап 3

Найдем третью производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x^{5}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Этап 3.2.3

Умножим $5$ на $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $56$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{56}{x^{9}}$ по $x$ равна $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{9}}$ в виде ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Этап 3.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{9})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $9$ на $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Этап 3.3.6

Умножим $9$ на $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Этап 3.3.7

Умножим $x^{- 18}$ на $x^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.7.1

Перенесем $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Этап 3.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Этап 3.3.7.3

Вычтем $18$ из $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Этап 3.3.8

Умножим $- 9$ на $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 504$ и $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Этап 4

Найдем четвертую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Этап 4.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $210$ является константой относительно $x$ , производная $210 x^{4}$ по $x$ равна $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Этап 4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Этап 4.2.3

Умножим $4$ на $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Этап 4.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 504$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{504}{x^{10}}$ по $x$ равна $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Этап 4.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{10}}$ в виде ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Этап 4.3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Этап 4.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Этап 4.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Этап 4.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Этап 4.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{10})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Этап 4.3.5.2

Умножим $10$ на $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Этап 4.3.6

Умножим $10$ на $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Этап 4.3.7

Умножим $x^{- 20}$ на $x^{9}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Перенесем $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Этап 4.3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Этап 4.3.7.3

Вычтем $20$ из $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Этап 4.3.8

Умножим $- 10$ на $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Этап 4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Этап 4.4.2

Объединим $5040$ и $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$