Математический анализ Примеры

$f (t) = t \sqrt{25 - t^{2}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 - t^{2}}$ в виде ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t$ и $g (t) = {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = 25 - t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.8.3

Перенесем ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.9

По правилу суммы производная $25 - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.10

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.14.3

Объединим $\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.15

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.16

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.20.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.20.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 1.23

Умножим ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1.24

Чтобы записать ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26

Умножим ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{1}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.27

Упростим ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.28

Вычтем $t^{2}$ из $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.29

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = - 2 t^{2} + 25$ и $g (t) = {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.3

Упростим.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

По правилу суммы производная $- 2 t^{2} + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 t^{2}$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4.4

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4.5

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + 0) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.4.6

Добавим $- 4 t$ и $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.5.2

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.9.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.10

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.10.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{{(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.10.3

Перенесем ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.11

По правилу суммы производная $- t^{2} + 25$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (- t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.15

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + 0))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.16

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Добавим $- 2 t$ и $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t))}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.16.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot t)}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.16.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- 2 t}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.16.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.17

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.17.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.17.2

Сократим общий множитель.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.17.3

Перепишем это выражение.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (- \frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.19

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + 1 (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.20

Умножим $- 2 t^{2} + 25$ на $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.2

Умножим $- 2 t^{2} + 25$ на $\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.3

Чтобы записать $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t \cdot \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.4

Объединим $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ и $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6

Перепишем $\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.1

Вынесем множитель $t$ из $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.1.1

Вынесем множитель $t$ из $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.1.2

Вынесем множитель $t$ из $(- 2 t^{2} + 25) t$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.1.3

Вынесем множитель $t$ из $t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.2

Умножим ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.1.6.2.1

Перенесем ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.3

Упростим $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2}) - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.5

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.6

Умножим $- 4$ на $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 100 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.7

Вычтем $2 t^{2}$ из $4 t^{2}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 100 + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.1.6.8

Добавим $- 100$ и $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.1

Перепишем $\frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$ в виде произведения.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- t^{2} + 25}$

Этап 2.21.2.2

Умножим $\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{1}{- t^{2} + 25}$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Этап 2.21.2.3

Умножим ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на $- t^{2} + 25$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1

Умножим ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ на $- t^{2} + 25$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.21.2.3.1.1

Возведем $- t^{2} + 25$ в степень $1$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Этап 2.21.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Этап 2.21.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Этап 2.21.2.3.4

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 - t^{2}}$ в виде ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.1.2

$f' (t) = t \frac{d}{d t} ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.3.2

$f' (t) = t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.8.3

Перенесем ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.8.4

Объединим $\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.9

По правилу суммы производная $25 - t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (25) + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.10

Поскольку $25$ является константой относительно $t$ , производная $25$ относительно $t$ равна $0$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.11

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.12

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{2}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.13

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.14

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.14.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.14.2

Объединим $- 2$ и $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.14.3

Объединим $\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $t$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.15

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.16

Возведем $t$ в степень $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.17

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.18

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.20.2

Сократим общий множитель.

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.20.3

Перепишем это выражение.

$f' (t) = \frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Этап 4.1.22

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Этап 4.1.23

Умножим ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4.1.24

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.25

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26

Умножим ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.26.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.3

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.26.4

Разделим $2$ на $2$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.27

Упростим ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.28

Вычтем $t^{2}$ из $- t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.1.29

Изменим порядок членов.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (t)$ по $t$ равна $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 2 t^{2} + 25 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- 2 t^{2} = - 25$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- 2 t^{2} = - 25$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 2 t^{2} = - 25$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 2}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$t^{2} = \frac{25}{2}$

Этап 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{25}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.3

Умножим $\frac{5}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.1

Умножим $\frac{5}{\sqrt{2}}$ на $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Этап 5.3.4.4.3

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Этап 5.3.4.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Этап 5.3.4.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 5.3.4.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 5.3.4.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Этап 5.3.4.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Этап 5.3.4.4.6.5

Найдем экспоненту.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{{(- t^{2} + 25)}^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt{- t^{2} + 25} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- t^{2} + 25}}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- t^{2} + 25}$ в виде ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- t^{2} + 25)}^{1} = 0^{2}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$- t^{2} + 25 = 0^{2}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- t^{2} + 25 = 0$

Этап 6.3.3

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$- t^{2} = - 25$

Этап 6.3.3.2

Разделим каждый член $- t^{2} = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.1

Разделим каждый член $- t^{2} = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.2.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$t^{2} = 25$

Этап 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{25}$

Этап 6.3.3.4

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.4.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 6.3.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$t = \pm 5$

Этап 6.3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$t = 5$

Этап 6.3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$t = - 5$

Этап 6.3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$t = 5, - 5$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt{- t^{2} + 25}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$- t^{2} + 25 < 0$

Этап 6.5

Решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $25$ из обеих частей неравенства.

$- t^{2} < - 25$

Этап 6.5.2

Разделим каждый член $- t^{2} < - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Разделим каждый член $- t^{2} < - 25$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- t^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.5.2.2.2

Разделим $t^{2}$ на $1$ .

$t^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Этап 6.5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$t^{2} > 25$

Этап 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{t^{2}} > \sqrt{25}$

Этап 6.5.4

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| t | > \sqrt{25}$

Этап 6.5.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1

Упростим $\sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.4.2.1.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$| t | > \sqrt{5^{2}}$

Этап 6.5.4.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| t | > | 5 |$

Этап 6.5.4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$| t | > 5$

Этап 6.5.5

Запишем $| t | > 5$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$t \geq 0$

Этап 6.5.5.2

В части, где $t$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$t > 5$

Этап 6.5.5.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$t < 0$

Этап 6.5.5.4

В части, где $t$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- t > 5$

Этап 6.5.5.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} t > 5 & t \geq 0 \\ - t > 5 & t < 0 \end{cases}$

Этап 6.5.6

Найдем пересечение $t > 5$ и $t \geq 0$ .

$t > 5$

Этап 6.5.7

Разделим каждый член $- t > 5$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.1

Разделим каждый член $- t > 5$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Этап 6.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{t}{1} < \frac{5}{- 1}$

Этап 6.5.7.2.2

Разделим $t$ на $1$ .

$t < \frac{5}{- 1}$

Этап 6.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.3.1

Разделим $5$ на $- 1$ .

$t < - 5$

Этап 6.5.8

Найдем объединение решений.

$t < - 5$ или $t > 5$

Этап 6.6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - 5, 5$

Этап 8

Найдем вторую производную в $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(\frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.4

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.6

Разделим $50$ на $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.1.7

Вычтем $75$ из $25$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.2.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.4

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.5

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.5.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.2

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.3

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.5.2

Добавим $- 25$ и $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 9.2.6

Применим правило умножения к $\frac{25}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.2.7.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Объединим $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ и $- 50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2} \cdot - 50}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.3.2

Умножим $- 50$ на $5$ .

$\frac{\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Сократим выражение $\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.1.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{- 125 \sqrt{2}}{1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.4.2

Разделим $- 125 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{- 125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 9.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- 125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 9.6

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $125$ из $- 125 \sqrt{2}$ .

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 9.6.2

Сократим общий множитель.

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 9.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 9.7

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Этап 9.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Этап 9.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.9.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Этап 9.9.2

Добавим $3$ и $1$ .

$- 2^{\frac{4}{2}}$

Этап 9.10

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 9.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 9.10.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 9.10.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2^{\frac{2}{1}}$

Этап 9.10.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- 2^{2}$

Этап 9.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.11.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$- 1 \cdot 4$

Этап 9.11.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4$

Этап 10

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.1.2

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Этап 11.2.2.2.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Этап 11.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Этап 11.2.3.2

Умножим $25$ на $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Этап 11.2.3.3

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Этап 11.2.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 11.2.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Этап 11.2.4

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 11.2.5

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 11.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Этап 11.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.7.1

Умножим $25$ на $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Этап 11.2.7.2

Вычтем $25$ из $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Этап 11.2.8

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.9.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.9.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.10.1.1

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.10.1.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 11.2.10.1.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{2} \cdot 5$

Этап 11.2.10.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \cdot 5}{2}$

Этап 11.2.10.3

Умножим $5$ на $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{25}{2}$

Этап 11.2.11

Окончательный ответ: $\frac{25}{2}$ .

$y = \frac{25}{2}$

Этап 12

Найдем вторую производную в $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.1.3

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.3

Умножим $\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.4.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.6

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.8

Разделим $50$ на $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.9

Вычтем $75$ из $25$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Умножим $- 50$ на $- 1$ .

$\frac{50 \frac{5 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10.2

Объединим $50$ и $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{50 (5 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.10.3

Умножим $5$ на $50$ .

$\frac{\frac{250 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.11

Сократим общий множитель $250$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.1

Вынесем множитель $2$ из $250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.11.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.11.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.11.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{125 \sqrt{2}}{1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.1.11.2.4

Разделим $125 \sqrt{2}$ на $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.1.3

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.4.2.5

Найдем экспоненту.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.6

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.7

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.7.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.1.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.3

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Умножим $25$ на $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.5.2

Добавим $- 25$ и $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 13.2.6

Применим правило умножения к $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.7.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.2.7.4

Возведем $5$ в степень $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Этап 13.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 13.4

Сократим общий множитель $125$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Вынесем множитель $125$ из $125 \sqrt{2}$ .

$125 (\sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Этап 13.4.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 13.5

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Этап 13.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

Этап 13.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.7.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

Этап 13.7.2

Добавим $1$ и $3$ .

$2^{\frac{4}{2}}$

Этап 13.8

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Этап 13.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Этап 13.8.2.2

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Этап 13.8.2.3

Перепишем это выражение.

$2^{\frac{2}{1}}$

Этап 13.8.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$2^{2}$

Этап 13.9

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4$

Этап 14

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Этап 15.2.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.1.3

Применим правило умножения к $5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.2

Умножим ${(- 1)}^{2}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Этап 15.2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Этап 15.2.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.4.2.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Этап 15.2.4.2.5

Найдем экспоненту.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Этап 15.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Этап 15.2.5.2

Умножим $25$ на $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Этап 15.2.5.3

Сократим общий множитель $50$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.3.1

Вынесем множитель $2$ из $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Этап 15.2.5.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.5.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.5.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Этап 15.2.5.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Этап 15.2.6

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 15.2.7

Объединим $25$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Этап 15.2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Этап 15.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.9.1

Умножим $25$ на $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Этап 15.2.9.2

Вычтем $25$ из $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Этап 15.2.10

Перепишем $\sqrt{\frac{25}{2}}$ в виде $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.11.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.1

Сократим общий множитель $\sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.12.1.2

Вынесем множитель $\sqrt{2}$ из $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.12.1.3

Сократим общий множитель.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Этап 15.2.12.1.4

Перепишем это выражение.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{2} \cdot 5$

Этап 15.2.12.2

Объединим $\frac{- 5}{2}$ и $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \cdot 5}{2}$

Этап 15.2.12.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.12.3.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 25}{2}$

Этап 15.2.12.3.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{25}{2}$

Этап 15.2.13

Окончательный ответ: $- \frac{25}{2}$ .

$y = - \frac{25}{2}$

Этап 16

Найдем вторую производную в $t = - 5$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- {(- 5)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 1 \cdot 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Добавим $- 25$ и $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Этап 17.2.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 17.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Этап 17.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{3}}$

Этап 17.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Этап 17.2.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Этап 17.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 18

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 19