Математический анализ Примеры

$f (x) = {(2 x)}^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{x}]$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{x} x^{x}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 2^{x}$ и $g (x) = x^{x}$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.3

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.3.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$2^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = x \ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$2^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.5

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.7.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 1.8

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $2$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 1.9.3

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 1.9.4

Изменим порядок членов.

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2^{x} e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [2^{x} x^{x} \ln (2)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2^{x} e^{x \ln (x)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$f'' (x) = 2^{x} \frac{d}{d x} (e^{x \ln (x)}) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $x \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2^{x} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $x \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.3

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x}) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.6

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.7

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.8

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.8.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.2.9

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.3

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} \frac{d}{d x} (e^{x \ln (x)}) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (x \ln (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.5

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x))) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} (2^{x})) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.8

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.9

Объединим $\frac{1}{x}$ и $2^{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x}}{x} \cdot e^{x \ln (x)} + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.10

Объединим $\frac{2^{x}}{x}$ и $e^{x \ln (x)}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.11

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.12

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.12.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.3.12.2

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.13

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.14

Изменим порядок множителей в $\ln (x) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)))$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.15

Чтобы записать $(2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{(2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.3.16

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \frac{d}{d x} (2^{x} x^{x} \ln (2))$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2^{x} x^{x} \ln (2)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $\ln (2)$ является константой относительно $x$ , производная $2^{x} x^{x} \ln (2)$ по $x$ равна $\ln (2) \frac{d}{d x} [2^{x} x^{x}]$ .

Этап 2.4.2

Этап 2.4.3

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

Этап 2.4.3.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

Этап 2.4.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $x \ln (x)$ .

Этап 2.4.4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

Этап 2.4.4.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $x \ln (x)$ .

Этап 2.4.5

Этап 2.4.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

Этап 2.4.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

Этап 2.4.8

Этап 2.4.9

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

Этап 2.4.10

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.10.1

Сократим общий множитель.

Этап 2.4.10.2

Перепишем это выражение.

Этап 2.4.11

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) \ln (x) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) \ln (x) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x)) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.6

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) \ln (x) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.7

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 2.5.8

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 2.5.9

Применим свойство дистрибутивности.

Этап 2.5.10

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.1

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) \ln (x) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.2

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) \ln (x) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.3

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} ((\ln (x)) \ln (x))) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.4

Возведем $\ln (x)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} ((\ln (x)) (\ln (x)))) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} {(\ln (x))}^{1 + 1}) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.7

Чтобы записать $2^{x} e^{x \ln (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.9

Чтобы записать $2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + \frac{2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) x + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.11

Перенесем $e^{x \ln (x)}$ .

$f'' (x) = e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.12

Добавим $2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ и $2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$f'' (x) = e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2 \cdot (2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (x)) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.13

Умножим $2$ на $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.13.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

Этап 2.5.10.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) + \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.14

Чтобы записать $e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x}{x} + \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.15

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1)) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.16

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \ln (2) (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + \ln (2) (x^{x} (2^{x} \ln (2)))$

Этап 2.5.10.17

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} ((\ln (2)) \ln (2)))$

Этап 2.5.10.18

Возведем $\ln (2)$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} ((\ln (2)) (\ln (2))))$

Этап 2.5.10.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} {(\ln (2))}^{1 + 1})$

Этап 2.5.10.20

Добавим $1$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.21

Чтобы записать $\ln (2) \cdot 2^{x} e^{x \ln (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) \cdot \frac{x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.22

Объединим $\ln (2) \cdot 2^{x} e^{x \ln (x)}$ и $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \frac{\ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)} x)}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.23

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x + \ln (2) \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)} x)}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.24

Перенесем $e^{x \ln (x)}$ .

$f'' (x) = \frac{(2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.25

Добавим $(2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2)$ и $2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (2)$ .

$f'' (x) = \frac{2 \cdot (2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (2)) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.26

Умножим $2$ на $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.26.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

Этап 2.5.10.26.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.27

Чтобы записать $\ln (2) \cdot 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

Этап 2.5.10.28

Объединим $\ln (2) \cdot 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x))$ и $\frac{x}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x}{x} + \frac{\ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x)}{x} + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.29

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + e^{x \ln (x)} (2^{x} \ln (2)) \ln (x) x + \ln (2) \cdot (2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x)}{x} + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.30

Перенесем $e^{x \ln (x)}$ .

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + (2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x) + (2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x)}{x} + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.31

Добавим $(2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x)$ и $(2^{x}) x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x)$ .

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + 2 \cdot (2^{x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x))}{x} + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.32

Умножим $2$ на $2^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.10.32.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

Этап 2.5.10.32.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) x + 2^{1 + x} x e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x)}{x} + x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$

Этап 2.5.10.33

Чтобы записать $x^{x} (2^{x} \ln^{2} (2))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

Этап 2.5.10.34

Объединим числители над общим знаменателем.

Этап 2.5.10.35

Возведем $x$ в степень $1$ .

Этап 2.5.10.36

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

Этап 2.5.11

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (2) + 2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + 2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (2) \ln (x) + 2^{x} x^{1 + x} \ln^{2} (2)}{x}$

Этап 2.5.12

Изменим порядок множителей в $\frac{2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (2) + 2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (x) + 2^{x} e^{x \ln (x)} x + 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + 2^{1 + x} e^{x \ln (x)} x \ln (2) \ln (x) + 2^{x} x^{1 + x} \ln^{2} (2)}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot (2^{1 + x} e^{x \ln (x)} \ln (2)) + x \cdot (2^{1 + x} e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)}) + 2^{x} e^{x \ln (x)} + x \cdot (2^{x} e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x)) + x \cdot (2^{1 + x} e^{x \ln (x)} \ln (2) \ln (x)) + 2^{x} x^{1 + x} \ln^{2} (2)}{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{x}]$

Этап 4.1.1.2

Применим правило умножения к $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{x} x^{x}]$

Этап 4.1.2

$2^{x} \frac{d}{d x} [x^{x}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.3

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Перепишем $x^{x}$ в виде $e^{\ln (x^{x})}$ .

$2^{x} \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.3.2

Развернем $\ln (x^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$2^{x} \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x \ln (x)$ .

$2^{x} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.4.2

$2^{x} (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x \ln (x)$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.5

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.6

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.7.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.7.2.1

Сократим общий множитель.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.7.2.2

Перепишем это выражение.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.7.4

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} \frac{d}{d x} [2^{x}]$

Этап 4.1.8

$2^{x} (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 4.1.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 4.1.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2^{x} (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 4.1.9.3

Умножим $e^{x \ln (x)}$ на $1$ .

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} (e^{x \ln (x)} \ln (x)) + x^{x} (2^{x} \ln (2))$

Этап 4.1.9.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = 2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2)$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2)$ .

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2)$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$2^{x} e^{x \ln (x)} + 2^{x} e^{x \ln (x)} \ln (x) + 2^{x} x^{x} \ln (2) = 0$

Этап 5.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx 0.18393972$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0.18393972$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0.18393972$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{0.18393972 \cdot (2^{1 + 0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)} \ln (2)) + 0.18393972 \cdot (2^{1 + 0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972)) + (0.18393972) \cdot (2^{0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)}) + 2^{0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)} + (0.18393972) \cdot (2^{0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972)) + 0.18393972 \cdot (2^{1 + 0.18393972} e^{(0.18393972) \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972)) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Избавимся от скобок.

Этап 9.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Добавим $1$ и $0.18393972$ .

$\frac{0.18393972 \cdot 2^{1.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.2

Возведем $2$ в степень $1.18393972$ .

$\frac{0.18393972 \cdot 2.27196359 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.3

Умножим $0.18393972$ на $2.27196359$ .

$\frac{0.41790434 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.4

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{0.41790434 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{0.41790434 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.6

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{0.41790434 \cdot 0.73239373 \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.7

Умножим $0.41790434$ на $0.73239373$ .

$\frac{0.30607052 \ln (2) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.8

Упростим $0.30607052 \ln (2)$ путем переноса $0.30607052$ под логарифм.

$\frac{\ln (2^{0.30607052}) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.9

Возведем $2$ в степень $0.30607052$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.10

Добавим $1$ и $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.18393972 \cdot 2^{1.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.11

Возведем $2$ в степень $1.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.18393972 \cdot 2.27196359 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.12

Умножим $0.18393972$ на $2.27196359$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.41790434 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.13

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.41790434 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.14

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.41790434 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.15

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.41790434 \cdot 0.73239373 \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.16

Умножим $0.41790434$ на $0.73239373$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + 0.30607052 \ln (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.17

Упростим $0.30607052 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.30607052$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln ({0.18393972}^{0.30607052}) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.18

Возведем $0.18393972$ в степень $0.30607052$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.19

Возведем $2$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.18393972 \cdot 1.13598179 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.20

Умножим $0.18393972$ на $1.13598179$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.20895217 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.21

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.20895217 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.22

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.20895217 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.23

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.20895217 \cdot 0.73239373 + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.24

Умножим $0.20895217$ на $0.73239373$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.25

Возведем $2$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 1.13598179 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.26

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 1.13598179 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.27

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 1.13598179 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.28

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 1.13598179 \cdot 0.73239373 + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.29

Умножим $1.13598179$ на $0.73239373$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.18393972 \cdot 2^{0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.30

Возведем $2$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.18393972 \cdot 1.13598179 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.31

Умножим $0.18393972$ на $1.13598179$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.20895217 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.32

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.20895217 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.33

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.20895217 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.34

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.20895217 \cdot 0.73239373 \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.35

Умножим $0.20895217$ на $0.73239373$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.15303526 \ln^{2} (0.18393972) + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.36

Умножим $0.15303526$ на $\ln^{2} (0.18393972)$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.18393972 \cdot 2^{1 + 0.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.37

Добавим $1$ и $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.18393972 \cdot 2^{1.18393972} e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.38

Возведем $2$ в степень $1.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.18393972 \cdot 2.27196359 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.39

Умножим $0.18393972$ на $2.27196359$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.41790434 e^{0.18393972 \ln (0.18393972)} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.40

Упростим $0.18393972 \ln (0.18393972)$ путем переноса $0.18393972$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.41790434 e^{\ln ({0.18393972}^{0.18393972})} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.41

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.41790434 \cdot {0.18393972}^{0.18393972} \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.42

Возведем $0.18393972$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.41790434 \cdot 0.73239373 \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.43

Умножим $0.41790434$ на $0.73239373$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + 0.30607052 \ln (2) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.44

Упростим $0.30607052 \ln (2)$ путем переноса $0.30607052$ под логарифм.

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (2^{0.30607052}) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.45

Возведем $2$ в степень $0.30607052$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 2^{0.18393972} \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.46

Возведем $2$ в степень $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 1.13598179 \cdot {0.18393972}^{1 + 0.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.47

Добавим $1$ и $0.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 1.13598179 \cdot {0.18393972}^{1.18393972} \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.48

Возведем $0.18393972$ в степень $1.18393972$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 1.13598179 \cdot 0.13471629 \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.49

Умножим $1.13598179$ на $0.13471629$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.15303526 \ln^{2} (2)}{0.18393972}$

Этап 9.2.50

Умножим $0.15303526$ на $\ln^{2} (2)$ .

$\frac{\ln (1.23633569) + \ln (0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.51

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (1.23633569 \cdot 0.59557827) + 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.52

Добавим $\ln (1.23633569 \cdot 0.59557827)$ и $0.15303526$ .

$\frac{- 0.15303526 + 0.83198595 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.53

Добавим $- 0.15303526$ и $0.83198595$ .

$\frac{0.67895069 + 0.43871344 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.54

Добавим $0.67895069$ и $0.43871344$ .

$\frac{1.11766413 + \ln (1.23633569) \ln (0.18393972) + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.55

Добавим $1.11766413$ и $\ln (1.23633569) \ln (0.18393972)$ .

$\frac{0.7584597 + 0.07352625}{0.18393972}$

Этап 9.2.56

Добавим $0.7584597$ и $0.07352625$ .

$\frac{0.83198595}{0.18393972}$

Этап 9.3

Разделим $0.83198595$ на $0.18393972$ .

$4.52314459$

Этап 10

$x = 0.18393972$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0.18393972$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0.18393972$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.18393972$ .

$f (0.18393972) = {(2 (0.18393972))}^{0.18393972}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $2$ на $0.18393972$ .

$f (0.18393972) = {0.36787944}^{0.18393972}$

Этап 11.2.2

Возведем $0.36787944$ в степень $0.18393972$ .

$f (0.18393972) = 0.83198595$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $0.83198595$ .

$y = 0.83198595$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = {(2 x)}^{x}$ .

$(0.18393972, 0.83198595)$ — локальный минимум

Этап 13