Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 1) e^{x}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 1$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Этап 1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 1.3.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Этап 1.4.2.2

Добавим $- e^{x}$ и $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Этап 1.4.2.3

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$x e^{x}$

Этап 1.4.3

Изменим порядок множителей в $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Этап 1.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x$ .

$x e^{x}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 2.3.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x e^{x} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.2

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 4.1.3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Этап 4.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Этап 4.1.3.4.2

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Этап 4.1.4.2.2

Добавим $- e^{x}$ и $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Этап 4.1.4.2.3

Добавим $x e^{x}$ и $0$ .

$x e^{x}$

Этап 4.1.4.3

Изменим порядок множителей в $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Этап 4.1.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x$ .

$f' (x) = x e^{x}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x e^{x}$ .

$x e^{x}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x e^{x} = 0$

Этап 5.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Этап 5.3

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 5.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 5.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 5.5

Окончательным решением являются все значения, при которых $x e^{x} = 0$ верно.

$x = 0$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$(0) e^{0} + e^{0}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{0}$

Этап 9.1.2

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + e^{0}$

Этап 9.1.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 1$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 10

$x = 0$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = ((0) - 1) \cdot e^{0}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $1$ из $0$ .

$f (0) = - 1 \cdot e^{0}$

Этап 11.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$f (0) = - 1 \cdot 1$

Этап 11.2.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (0) = - 1$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

$(0, - 1)$ — локальный минимум

Этап 13