Математический анализ Примеры

$3 x^{4} - 96 x + 7$

Этап 1

Запишем $3 x^{4} - 96 x + 7$ в виде функции.

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 96 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $12 x^{3} - 96$ и $0$ .

$12 x^{3} - 96$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{3} - 96$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{3}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $36 x^{2}$ и $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{4} - 96 x + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 96$ является константой относительно $x$ , производная $- 96 x$ по $x$ равна $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 96$ на $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $12 x^{3} - 96$ и $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{3} - 96$ .

$12 x^{3} - 96$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{3} - 96 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{3} - 96 = 0$

Этап 6.2

Добавим $96$ к обеим частям уравнения.

$12 x^{3} = 96$

Этап 6.3

Вычтем $96$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Этап 6.4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3} - 96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

Этап 6.4.1.2

Вынесем множитель $12$ из $- 96$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

Этап 6.4.1.3

Вынесем множитель $12$ из $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ .

$12 (x^{3} - 8) = 0$

Этап 6.4.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Этап 6.4.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу разности кубов, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Этап 6.4.4

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.4.1.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Этап 6.4.4.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Этап 6.4.4.2

Избавимся от ненужных скобок.

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Этап 6.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 6.6

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.6.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.7

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Приравняем $x^{2} + 2 x + 4$ к $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Этап 6.7.2

Решим $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.7.2.2

Подставим значения $a = 1$ , $b = 2$ и $c = 4$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.3.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.3.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.3.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.7.2.3.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 6.7.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.4.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.4.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.4.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.7.2.4.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 6.7.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Этап 6.7.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.5.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.2.2

Умножим $- 4$ на $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.3

Вычтем $16$ из $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.4

Перепишем $- 12$ в виде $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.5

Перепишем $\sqrt{- 1 (12)}$ в виде $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.6

Перепишем $\sqrt{- 1}$ в виде $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.7

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.5.1.7.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.7.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.8

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.1.9

Перенесем $2$ влево от $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Этап 6.7.2.5.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Этап 6.7.2.5.3

Упростим $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Этап 6.7.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 6.7.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 6.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ верно.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$36 {(2)}^{2}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$36 \cdot 4$

Этап 10.2

Умножим $36$ на $4$ .

$144$

Этап 11

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $2$ в степень $4$ .

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

Этап 12.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 96$ на $2$ .

$f (2) = 48 - 192 + 7$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $192$ из $48$ .

$f (2) = - 144 + 7$

Этап 12.2.2.2

Добавим $- 144$ и $7$ .

$f (2) = - 137$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 137$ .

$y = - 137$

Этап 13

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ .

$(2, - 137)$ — локальный минимум

Этап 14