Математический анализ Примеры

$4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$

Этап 1

Запишем $4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ в виде функции.

$f (x) = 4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- \frac{27}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{27}{2} x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 x^{2} - 2 (\frac{27}{2}) x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{27}{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.5

Умножим $- 2$ на $27$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.6

Объединим $\frac{- 54}{2}$ и $x$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.7

Сократим общий множитель $- 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54 x$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x^{2} + \frac{- 27 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.3.7.2.4

Разделим $- 27 x$ на $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 27 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 27 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 27$ является константой относительно $x$ , производная $- 27 x$ по $x$ равна $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 27$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 + \frac{d}{d x} (8)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 27 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $24 x - 27$ и $0$ .

$f'' (x) = 24 x - 27$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{27}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

$12 x^{2} - \frac{27}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - \frac{27}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$12 x^{2} - 2 (\frac{27}{2}) x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{27}{2}$ .

$12 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 27}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- 2$ на $27$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54}{2} x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.6

Объединим $\frac{- 54}{2}$ и $x$ .

$12 x^{2} + \frac{- 54 x}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.7

Сократим общий множитель $- 54$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $- 54 x$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$12 x^{2} + \frac{2 (- 27 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$12 x^{2} + \frac{- 27 x}{1} + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.3.7.2.4

Разделим $- 27 x$ на $1$ .

$12 x^{2} - 27 x + \frac{d}{d x} [8 x]$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $8$ на $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 27 x + 8$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $12 x^{2} - 27 x + 8$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$12 x^{2} - 27 x + 8 = 0$

Этап 6.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.3

Подставим значения $a = 12$ , $b = - 27$ и $c = 8$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{27 \pm \sqrt{{(- 27)}^{2} - 4 \cdot (12 \cdot 8)}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Возведем $- 27$ в степень $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.4.1.2.2

Умножим $- 48$ на $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.4.1.3

Вычтем $384$ из $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.4.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Этап 6.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Возведем $- 27$ в степень $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.5.1.2.2

Умножим $- 48$ на $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.5.1.3

Вычтем $384$ из $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.5.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Этап 6.5.3

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$

Этап 6.6

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.1

Возведем $- 27$ в степень $2$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 4 \cdot 12 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.6.1.2

Умножим $- 4 \cdot 12 \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1.2.1

Умножим $- 4$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 48 \cdot 8}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.6.1.2.2

Умножим $- 48$ на $8$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{729 - 384}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.6.1.3

Вычтем $384$ из $729$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{2 \cdot 12}$

Этап 6.6.2

Умножим $2$ на $12$ .

$x = \frac{27 \pm \sqrt{345}}{24}$

Этап 6.6.3

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Этап 6.7

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}, \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}, \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) - 27$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Сократим общий множитель.

$24 \frac{27 + \sqrt{345}}{24} - 27$

Этап 10.1.2

Перепишем это выражение.

$27 + \sqrt{345} - 27$

Этап 10.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $27$ из $27$ .

$0 + \sqrt{345}$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $\sqrt{345}$ .

$\sqrt{345}$

Этап 11

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{3} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{24^{3}}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.2

Возведем $24$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{13824}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $13824$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{4 (3456)}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{4 \cdot 3456}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{27^{3} + 3 \cdot (27^{2} \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.1

Возведем $27$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (27^{2} \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.2

Возведем $27$ в степень $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (729 \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.3

Умножим $3$ на $729$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 3 \cdot (27 {\sqrt{345}}^{2}) + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.4

Умножим $3$ на $27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 {\sqrt{345}}^{2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.5

Перепишем ${\sqrt{345}}^{2}$ в виде $345$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{345}$ в виде $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 {(345^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.5.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 12.2.1.5.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.6

Умножим $81$ на $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.7

Перепишем ${\sqrt{345}}^{3}$ в виде $\sqrt{345^{3}}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{345^{3}}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.8

Возведем $345$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{41063625}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.9

Перепишем $41063625$ в виде $345^{2} \cdot 345$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.5.9.1

Вынесем множитель $119025$ из $41063625$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{119025 (345)}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.9.2

Перепишем $119025$ в виде $345^{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + \sqrt{345^{2} \cdot 345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.5.10

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 \sqrt{345} + 27945 + 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.6

Добавим $19683$ и $27945$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 + 2187 \sqrt{345} + 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.7

Добавим $2187 \sqrt{345}$ и $345 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 + 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8

Сократим общий множитель $47628 + 2532 \sqrt{345}$ и $3456$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.8.1

Вынесем множитель $12$ из $47628$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8.2

Вынесем множитель $12$ из $2532 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 12 (211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (3969) + 12 (211 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $12$ из $3456$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 + 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 + \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{27 + \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{24^{2}} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.10

Возведем $24$ в степень $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.11

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{2}$ в числитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 27}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.11.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 (- 3)}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.11.3

Вынесем множитель $9$ из $576$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.11.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.12

Умножим $\frac{- 3}{2}$ на $\frac{{(27 + \sqrt{345})}^{2}}{64}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 + \sqrt{345})}^{2}}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.13

Умножим $2$ на $64$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 + \sqrt{345})}^{2}}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.14

Перепишем ${(27 + \sqrt{345})}^{2}$ в виде $(27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 ((27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.15

Развернем $(27 + \sqrt{345}) (27 + \sqrt{345})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 (27 + \sqrt{345}) + \sqrt{345} (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} (27 + \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \cdot 27 + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.16.1.1

Умножим $27$ на $27$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \cdot 27 + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.1.2

Перенесем $27$ влево от $\sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \cdot \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.1.3

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345 \cdot 345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.1.4

Умножим $345$ на $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{119025})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.1.5

Перепишем $119025$ в виде $345^{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + \sqrt{345^{2}})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.1.6

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.2

Добавим $729$ и $345$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 + 27 \sqrt{345} + 27 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.16.3

Добавим $27 \sqrt{345}$ и $27 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 + 54 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.17

Сократим общий множитель $1074 + 54 \sqrt{345}$ и $128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 3 (1074 + 54 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $128$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{2 (64)} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.17.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 + 27 \sqrt{345}))}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.17.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{24})$

Этап 12.2.1.19

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.19.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{8 (3)})$

Этап 12.2.1.19.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 + \sqrt{345}}{8 \cdot 3})$

Этап 12.2.1.19.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Этап 12.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Умножим $\frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Этап 12.2.2.2

Умножим $\frac{3969 + 211 \sqrt{345}}{288}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Этап 12.2.2.3

Умножим $\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - (\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64} \cdot \frac{9}{9}) + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Этап 12.2.2.4

Умножим $\frac{3 (537 + 27 \sqrt{345})}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3}$

Этап 12.2.2.5

Умножим $\frac{27 + \sqrt{345}}{3}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 + \sqrt{345}}{3} \cdot \frac{192}{192}$

Этап 12.2.2.6

Умножим $\frac{27 + \sqrt{345}}{3}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 12.2.2.7

Изменим порядок множителей в $288 \cdot 2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{2 \cdot 288} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 12.2.2.8

Умножим $2$ на $288$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 12.2.2.9

Изменим порядок множителей в $64 \cdot 9$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 12.2.2.10

Умножим $9$ на $64$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 12.2.2.11

Умножим $3$ на $192$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 + 211 \sqrt{345}) \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 \cdot 2 + 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.2

Умножим $3969$ на $2$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.3

Умножим $2$ на $211$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 3 (537 + 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 3 \cdot 537 - 3 (27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.5

Умножим $- 3$ на $537$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 3 (27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.6

Умножим $27$ на $- 3$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 81 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 1611 \cdot 9 - 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.8

Умножим $- 1611$ на $9$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.9

Умножим $9$ на $- 81$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + (27 + \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 27 \cdot 192 + \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.11

Умножим $27$ на $192$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 5184 + \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Этап 12.2.4.12

Перенесем $192$ влево от $\sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 + 422 \sqrt{345} - 14499 - 729 \sqrt{345} + 5184 + 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.5.1

Вычтем $14499$ из $7938$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 6561 + 422 \sqrt{345} - 729 \sqrt{345} + 5184 + 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5.2

Добавим $- 6561$ и $5184$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 422 \sqrt{345} - 729 \sqrt{345} + 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5.3

Вычтем $729 \sqrt{345}$ из $422 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 307 \sqrt{345} + 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5.4

Добавим $- 307 \sqrt{345}$ и $192 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5.5

Перепишем $- 1377$ в виде $- 1 (1377)$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 115 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - (115 \sqrt{345})}{576}$

Этап 12.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1377) - (115 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 (1377 + 115 \sqrt{345})}{576}$

Этап 12.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{27 + \sqrt{345}}{24}) = - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$ .

$y = - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) - 27$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Сократим общий множитель.

$24 \frac{27 - \sqrt{345}}{24} - 27$

Этап 14.1.2

Перепишем это выражение.

$27 - \sqrt{345} - 27$

Этап 14.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $27$ из $27$ .

$0 - \sqrt{345}$

Этап 14.2.2

Вычтем $\sqrt{345}$ из $0$ .

$- \sqrt{345}$

Этап 15

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{3} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{24^{3}}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.2

Возведем $24$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{13824}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.3.1

Вынесем множитель $4$ из $13824$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{4 (3456)}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = 4 (\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{4 \cdot 3456}) - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.4

Воспользуемся бином Ньютона.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{27^{3} + 3 \cdot (27^{2} (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.5.1

Возведем $27$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (27^{2} (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.2

Возведем $27$ в степень $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 3 \cdot (729 (- \sqrt{345})) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.3

Умножим $3$ на $729$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 + 2187 (- \sqrt{345}) + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.4

Умножим $- 1$ на $2187$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 3 \cdot (27 {(- \sqrt{345})}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.5

Умножим $3$ на $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {(- \sqrt{345})}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.6

Применим правило умножения к $- \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{345}}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 (1 {\sqrt{345}}^{2}) + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.8

Умножим ${\sqrt{345}}^{2}$ на $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {\sqrt{345}}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.9

Перепишем ${\sqrt{345}}^{2}$ в виде $345$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.5.9.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{345}$ в виде $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 {(345^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.9.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.9.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.9.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.5.9.4.1

Сократим общий множитель.

Этап 16.2.1.5.9.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.9.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 81 \cdot 345 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.10

Умножим $81$ на $345$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 + {(- \sqrt{345})}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.11

Применим правило умножения к $- \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.12

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - {\sqrt{345}}^{3}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.13

Перепишем ${\sqrt{345}}^{3}$ в виде $\sqrt{345^{3}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{345^{3}}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.14

Возведем $345$ в степень $3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{41063625}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.15

Перепишем $41063625$ в виде $345^{2} \cdot 345$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.5.15.1

Вынесем множитель $119025$ из $41063625$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{119025 (345)}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.15.2

Перепишем $119025$ в виде $345^{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - \sqrt{345^{2} \cdot 345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.16

Вынесем члены из-под знака корня.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - (345 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.5.17

Умножим $345$ на $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{19683 - 2187 \sqrt{345} + 27945 - 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.6

Добавим $19683$ и $27945$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 - 2187 \sqrt{345} - 345 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.7

Вычтем $345 \sqrt{345}$ из $- 2187 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{47628 - 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8

Сократим общий множитель $47628 - 2532 \sqrt{345}$ и $3456$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.1

Вынесем множитель $12$ из $47628$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) - 2532 \sqrt{345}}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8.2

Вынесем множитель $12$ из $- 2532 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969) + 12 (- 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8.3

Вынесем множитель $12$ из $12 (3969) + 12 (- 211 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{3456} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.8.4.1

Вынесем множитель $12$ из $3456$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{12 (3969 - 211 \sqrt{345})}{12 \cdot 288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.8.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot {(\frac{27 - \sqrt{345}}{24})}^{2} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.9

Применим правило умножения к $\frac{27 - \sqrt{345}}{24}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{24^{2}} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.10

Возведем $24$ в степень $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.11

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.11.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{27}{2}$ в числитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 27}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.11.2

Вынесем множитель $9$ из $- 27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 (- 3)}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{576} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.11.3

Вынесем множитель $9$ из $576$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.11.4

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{9 \cdot - 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{9 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.11.5

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3}{2} \cdot \frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.12

Умножим $\frac{- 3}{2}$ на $\frac{{(27 - \sqrt{345})}^{2}}{64}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 - \sqrt{345})}^{2}}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.13

Умножим $2$ на $64$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 {(27 - \sqrt{345})}^{2}}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.14

Перепишем ${(27 - \sqrt{345})}^{2}$ в виде $(27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 ((27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.15

Развернем $(27 - \sqrt{345}) (27 - \sqrt{345})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.15.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 (27 - \sqrt{345}) - \sqrt{345} (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.15.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} (27 - \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.15.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (27 \cdot 27 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.16.1.1

Умножим $27$ на $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 + 27 (- \sqrt{345}) - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.2

Умножим $- 1$ на $27$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - \sqrt{345} \cdot 27 - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.3

Умножим $27$ на $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} - \sqrt{345} (- \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4

Умножим $- \sqrt{345} (- \sqrt{345})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.16.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 1 \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4.2

Умножим $\sqrt{345}$ на $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4.3

Возведем $\sqrt{345}$ в степень $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4.4

Возведем $\sqrt{345}$ в степень $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + \sqrt{345} \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {\sqrt{345}}^{1 + 1})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {\sqrt{345}}^{2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5

Перепишем ${\sqrt{345}}^{2}$ в виде $345$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.16.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{345}$ в виде $345^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + {(345^{\frac{1}{2}})}^{2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{2}{2}})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.16.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345^{\frac{2}{2}})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.1.5.5

Найдем экспоненту.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (729 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345} + 345)}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.2

Добавим $729$ и $345$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 - 27 \sqrt{345} - 27 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.16.3

Вычтем $27 \sqrt{345}$ из $- 27 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (1074 - 54 \sqrt{345})}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.17

Сократим общий множитель $1074 - 54 \sqrt{345}$ и $128$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.17.1

Вынесем множитель $2$ из $- 3 (1074 - 54 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{128} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.17.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.17.2.1

Вынесем множитель $2$ из $128$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{2 (64)} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.17.2.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{2 (- 3 (537 - 27 \sqrt{345}))}{2 \cdot 64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.17.2.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} + \frac{- 3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{24})$

Этап 16.2.1.19

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.19.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{8 (3)})$

Этап 16.2.1.19.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + 8 (\frac{27 - \sqrt{345}}{8 \cdot 3})$

Этап 16.2.1.19.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Этап 16.2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Умножим $\frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Этап 16.2.2.2

Умножим $\frac{3969 - 211 \sqrt{345}}{288}$ на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Этап 16.2.2.3

Умножим $\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - (\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64} \cdot \frac{9}{9}) + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Этап 16.2.2.4

Умножим $\frac{3 (537 - 27 \sqrt{345})}{64}$ на $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3}$

Этап 16.2.2.5

Умножим $\frac{27 - \sqrt{345}}{3}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{27 - \sqrt{345}}{3} \cdot \frac{192}{192}$

Этап 16.2.2.6

Умножим $\frac{27 - \sqrt{345}}{3}$ на $\frac{192}{192}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{288 \cdot 2} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 16.2.2.7

Изменим порядок множителей в $288 \cdot 2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{2 \cdot 288} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 16.2.2.8

Умножим $2$ на $288$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 16.2.2.9

Изменим порядок множителей в $64 \cdot 9$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 16.2.2.10

Умножим $9$ на $64$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{3 \cdot 192}$

Этап 16.2.2.11

Умножим $3$ на $192$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2}{576} - \frac{3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9}{576} + \frac{(27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{(3969 - 211 \sqrt{345}) \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{3969 \cdot 2 - 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.2

Умножим $3969$ на $2$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 211 \sqrt{345} \cdot 2 - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.3

Умножим $2$ на $- 211$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 3 (537 - 27 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 3 \cdot 537 - 3 (- 27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.5

Умножим $- 3$ на $537$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 1611 - 3 (- 27 \sqrt{345})) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.6

Умножим $- 27$ на $- 3$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} + (- 1611 + 81 \sqrt{345}) \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 1611 \cdot 9 + 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.8

Умножим $- 1611$ на $9$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 81 \sqrt{345} \cdot 9 + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.9

Умножим $9$ на $81$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + (27 - \sqrt{345}) \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.10

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 27 \cdot 192 - \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.11

Умножим $27$ на $192$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 5184 - \sqrt{345} \cdot 192}{576}$

Этап 16.2.4.12

Умножим $192$ на $- 1$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{7938 - 422 \sqrt{345} - 14499 + 729 \sqrt{345} + 5184 - 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.5.1

Вычтем $14499$ из $7938$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 6561 - 422 \sqrt{345} + 729 \sqrt{345} + 5184 - 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5.2

Добавим $- 6561$ и $5184$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 - 422 \sqrt{345} + 729 \sqrt{345} - 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5.3

Добавим $- 422 \sqrt{345}$ и $729 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 307 \sqrt{345} - 192 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5.4

Вычтем $192 \sqrt{345}$ из $307 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5.5

Перепишем $- 1377$ в виде $- 1 (1377)$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 + 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $115 \sqrt{345}$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 \cdot 1377 - (- 115 \sqrt{345})}{576}$

Этап 16.2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1377) - (- 115 \sqrt{345})$ .

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = \frac{- 1 (1377 - 115 \sqrt{345})}{576}$

Этап 16.2.5.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{27 - \sqrt{345}}{24}) = - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 16.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$ .

$y = - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = 4 x^{3} - \frac{27}{2} x^{2} + 8 x$ .

$(\frac{27 + \sqrt{345}}{24}, - \frac{1377 + 115 \sqrt{345}}{576})$ — локальный минимум

$(\frac{27 - \sqrt{345}}{24}, - \frac{1377 - 115 \sqrt{345}}{576})$ — локальный максимум

Этап 18