Математический анализ Примеры

$12 x^{2} - 176 x + 484$

Этап 1

Запишем $12 x^{2} - 176 x + 484$ в виде функции.

$f (x) = 12 x^{2} - 176 x + 484$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 176 x + 484$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176 x$ по $x$ равна $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 176$ на $1$ .

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $484$ является константой относительно $x$ , производная $484$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x - 176 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $24 x - 176$ и $0$ .

$24 x - 176$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $24 x - 176$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 176]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 176)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 176)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 176)$

Этап 3.2.3

Умножим $24$ на $1$ .

$f'' (x) = 24 + \frac{d}{d x} (- 176)$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 24 + 0$

Этап 3.3.2

Добавим $24$ и $0$ .

$f'' (x) = 24$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$24 x - 176 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $12 x^{2} - 176 x + 484$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$24 x + \frac{d}{d x} [- 176 x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 176 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 176$ является константой относительно $x$ , производная $- 176 x$ по $x$ равна $- 176 \frac{d}{d x} [x]$ .

$24 x - 176 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$24 x - 176 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 176$ на $1$ .

$24 x - 176 + \frac{d}{d x} [484]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $484$ является константой относительно $x$ , производная $484$ относительно $x$ равна $0$ .

$24 x - 176 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $24 x - 176$ и $0$ .

$f' (x) = 24 x - 176$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $24 x - 176$ .

$24 x - 176$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $24 x - 176 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$24 x - 176 = 0$

Этап 6.2

Добавим $176$ к обеим частям уравнения.

$24 x = 176$

Этап 6.3

Разделим каждый член $24 x = 176$ на $24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Разделим каждый член $24 x = 176$ на $24$ .

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Сократим общий множитель $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{24 x}{24} = \frac{176}{24}$

Этап 6.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{176}{24}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Сократим общий множитель $176$ и $24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Вынесем множитель $8$ из $176$ .

$x = \frac{8 (22)}{24}$

Этап 6.3.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.2.1

Вынесем множитель $8$ из $24$ .

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Этап 6.3.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$x = \frac{8 \cdot 22}{8 \cdot 3}$

Этап 6.3.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$x = \frac{22}{3}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \frac{22}{3}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{22}{3}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$24$

Этап 10

$x = \frac{22}{3}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{22}{3}$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = \frac{22}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{22}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = 12 {(\frac{22}{3})}^{2} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило умножения к $\frac{22}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{22^{2}}{3^{2}}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.2

Возведем $22$ в степень $2$ .

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{484}{3^{2}}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (\frac{22}{3}) = 12 (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$f (\frac{22}{3}) = 3 (4) (\frac{484}{9}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.4.2

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$f (\frac{22}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{484}{3 \cdot 3})) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.4.3

Сократим общий множитель.

$f (\frac{22}{3}) = 3 \cdot (4 (\frac{484}{3 \cdot 3})) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.4.4

Перепишем это выражение.

$f (\frac{22}{3}) = 4 (\frac{484}{3}) - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.5

Объединим $4$ и $\frac{484}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{4 \cdot 484}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.6

Умножим $4$ на $484$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} - 176 (\frac{22}{3}) + 484$

Этап 11.2.1.7

Умножим $- 176 (\frac{22}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.7.1

Объединим $- 176$ и $\frac{22}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} + \frac{- 176 \cdot 22}{3} + 484$

Этап 11.2.1.7.2

Умножим $- 176$ на $22$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} + \frac{- 3872}{3} + 484$

Этап 11.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1936}{3} - \frac{3872}{3} + 484$

Этап 11.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{22}{3}) = 484 + \frac{1936 - 3872}{3}$

Этап 11.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Вычтем $3872$ из $1936$ .

$f (\frac{22}{3}) = 484 + \frac{- 1936}{3}$

Этап 11.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{22}{3}) = 484 - \frac{1936}{3}$

Этап 11.2.3

Чтобы записать $484$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = 484 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1936}{3}$

Этап 11.2.4

Объединим $484$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{484 \cdot 3}{3} - \frac{1936}{3}$

Этап 11.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{22}{3}) = \frac{484 \cdot 3 - 1936}{3}$

Этап 11.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.6.1

Умножим $484$ на $3$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{1452 - 1936}{3}$

Этап 11.2.6.2

Вычтем $1936$ из $1452$ .

$f (\frac{22}{3}) = \frac{- 484}{3}$

Этап 11.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{22}{3}) = - \frac{484}{3}$

Этап 11.2.8

Окончательный ответ: $- \frac{484}{3}$ .

$y = - \frac{484}{3}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = 12 x^{2} - 176 x + 484$ .

$(\frac{22}{3}, - \frac{484}{3})$ — локальный минимум

Этап 13