Математический анализ Примеры

$x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Этап 1

Запишем $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ в виде функции.

$f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x^{4}$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x^{3}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ и $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 44$ является константой относительно $x$ , производная $- 44 x^{3}$ по $x$ равна $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.3.3

Умножим $3$ на $- 44$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $42$ является константой относительно $x$ , производная $42 x^{2}$ по $x$ равна $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 (2 x)$

Этап 3.4.3

Умножим $2$ на $42$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 84 x$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x^{4}$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $4$ на $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $14$ является константой относительно $x$ , производная $14 x^{3}$ по $x$ равна $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $3$ на $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $5 x^{4}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 44 x^{3}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + 42 x^{2} = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $42 x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Этап 6.2.4

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x)$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Этап 6.2.5

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 6.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $5 x^{2} - 44 x + 42$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $5 x^{2} - 44 x + 42$ к $0$ .

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.5.2.2

Подставим значения $a = 5$ , $b = - 44$ и $c = 42$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 42)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.1

Возведем $- 44$ в степень $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.2.2

Умножим $- 20$ на $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.3

Вычтем $840$ из $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.4

Перепишем $1096$ в виде $2^{2} \cdot 274$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.3.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Этап 6.5.2.3.3

Упростим $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.5.2.4

Упростим выражение, которое нужно решить для части $+$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1.1

Возведем $- 44$ в степень $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.2.2

Умножим $- 20$ на $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.3

Вычтем $840$ из $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.4

Перепишем $1096$ в виде $2^{2} \cdot 274$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.4.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Этап 6.5.2.4.3

Упростим $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.5.2.4.4

Заменим $\pm$ на $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.5.2.5

Упростим выражение, которое нужно решить для части $-$ значения $\pm$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1.1

Возведем $- 44$ в степень $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.2

Умножим $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1.2.1

Умножим $- 4$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.2.2

Умножим $- 20$ на $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.3

Вычтем $840$ из $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.4

Перепишем $1096$ в виде $2^{2} \cdot 274$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.5.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Этап 6.5.2.5.2

Умножим $2$ на $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Этап 6.5.2.5.3

Упростим $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.5.2.5.4

Заменим $\pm$ на $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.5.2.6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$20 {(0)}^{3} - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$20 \cdot 0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Этап 10.1.2

Умножим $20$ на $0$ .

$0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Этап 10.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 132 \cdot 0 + 84 (0)$

Этап 10.1.4

Умножим $- 132$ на $0$ .

$0 + 0 + 84 (0)$

Этап 10.1.5

Умножим $84$ на $0$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 5 \cdot 16 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.2

Умножим $5$ на $16$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 \cdot - 8 + 42 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.4

Умножим $- 44$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 {(- 2)}^{2}$

Этап 11.2.2.1.5

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 \cdot 4$

Этап 11.2.2.1.6

Умножим $42$ на $4$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 168$

Этап 11.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Добавим $80$ и $352$ .

$f' (- 2) = 432 + 168$

Этап 11.2.2.2.2

Добавим $432$ и $168$ .

$f' (- 2) = 600$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $600$ .

$600$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5})$ в первую производную $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 \cdot 1 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 - 44 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.4

Умножим $- 44$ на $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42 {(1)}^{2}$

Этап 11.3.2.1.5

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 5 - 44 + 42 \cdot 1$

Этап 11.3.2.1.6

Умножим $42$ на $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42$

Этап 11.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Вычтем $44$ из $5$ .

$f' (1) = - 39 + 42$

Этап 11.3.2.2.2

Добавим $- 39$ и $42$ .

$f' (1) = 3$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5})$ в первую производную $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.2

Умножим $5$ на $256$ .

$f' (4) = 1280 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 1280 - 44 \cdot 64 + 42 {(4)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.4

Умножим $- 44$ на $64$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 {(4)}^{2}$

Этап 11.4.2.1.5

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 \cdot 16$

Этап 11.4.2.1.6

Умножим $42$ на $16$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 672$

Этап 11.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.2.1

Вычтем $2816$ из $1280$ .

$f' (4) = - 1536 + 672$

Этап 11.4.2.2.2

Добавим $- 1536$ и $672$ .

$f' (4) = - 864$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $- 864$ .

$- 864$

Этап 11.5

Подставим любое число такое, что $10$ , из интервала $(\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$ в первую производную $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $10$ .

$f' (10) = 5 {(10)}^{4} - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Этап 11.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.1.1

Возведем $10$ в степень $4$ .

$f' (10) = 5 \cdot 10000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.2

Умножим $5$ на $10000$ .

$f' (10) = 50000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.3

Возведем $10$ в степень $3$ .

$f' (10) = 50000 - 44 \cdot 1000 + 42 {(10)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.4

Умножим $- 44$ на $1000$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 {(10)}^{2}$

Этап 11.5.2.1.5

Возведем $10$ в степень $2$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 \cdot 100$

Этап 11.5.2.1.6

Умножим $42$ на $100$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 4200$

Этап 11.5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.2.2.1

Вычтем $44000$ из $50000$ .

$f' (10) = 6000 + 4200$

Этап 11.5.2.2.2

Добавим $6000$ и $4200$ .

$f' (10) = 10200$

Этап 11.5.2.3

Окончательный ответ: $10200$ .

$10200$

Этап 11.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 11.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ , $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ — локальный максимум.

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ — локальный максимум

Этап 11.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ , $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ — локальный минимум.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ — локальный минимум

Этап 11.9

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ — локальный максимум

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ — локальный минимум

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ — локальный максимум

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ — локальный минимум

Этап 12