Математический анализ Примеры

$4 x - 64 x^{- 3}$

Этап 1

Запишем $4 x - 64 x^{- 3}$ в виде функции.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x - 64 x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x^{- 3}$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Этап 2.3.3

Умножим $- 3$ на $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$192 x^{- 4} + 4$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Этап 2.4.2.2

Объединим $192$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{192}{x^{4}} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $192$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{192}{x^{4}}$ по $x$ равна $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{4}}$ в виде ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.5.2

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.6

Умножим $4$ на $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.7

Умножим $x^{- 8}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.7.3

Вычтем $8$ из $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.2.8

Умножим $- 4$ на $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Этап 3.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Объединим $- 768$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Этап 3.4.2.3

Добавим $- \frac{768}{x^{5}}$ и $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Этап 5

Ввиду отсутствия значения $x$ , при котором первая производная равна $0$ , локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 6

Нет локальных экстремумов

Этап 7