Математический анализ Примеры

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 1.1.2

Поскольку $375$ является константой относительно $x$ , производная $375$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $0.75$ является константой относительно $x$ , производная $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ равна $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Этап 1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Этап 1.2.6.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Этап 1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Этап 1.2.8

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Этап 1.2.9

Объединим $0.75$ и $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Этап 1.2.10

Умножим $3$ на $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Этап 1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Добавим $0$ и $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.3.2

Вынесем множитель $2.25$ из $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Этап 1.3.4

Разделим дроби.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.3.5

Разделим $2.25$ на $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 1.3.6

Объединим $0.5625$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $0.5625$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ по $x$ равна $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Этап 2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Этап 2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Этап 2.2.2.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Этап 2.2.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Этап 2.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 2.5

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Этап 2.7.2

Вычтем $4$ из $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Этап 2.9

Объединим $x^{- \frac{5}{4}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Этап 2.10

Умножим $- 1$ на $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 2.11

Объединим $- 0.5625$ и $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Этап 2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Перенесем $x^{- \frac{5}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 2.12.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 4.1.1.2

Поскольку $375$ является константой относительно $x$ , производная $375$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Этап 4.1.2.2

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Этап 4.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Этап 4.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Этап 4.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Этап 4.1.2.6.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Этап 4.1.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Этап 4.1.2.8

Объединим $\frac{3}{4}$ и $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Этап 4.1.2.9

Объединим $0.75$ и $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Этап 4.1.2.10

Умножим $3$ на $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Этап 4.1.2.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{4}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Добавим $0$ и $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.3.2

Вынесем множитель $2.25$ из $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.3.3

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Этап 4.1.3.4

Разделим дроби.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.3.5

Разделим $2.25$ на $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.1.3.6

Объединим $0.5625$ и $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 4.2

Первая производная $C (x)$ по $x$ равна $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$0.5625 = 0$

Этап 5.3

Поскольку $0.5625 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Этап 6.1.2

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Этап 6.2

Зададим знаменатель в $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Этап 6.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Чтобы избавиться от знака корня в левой части уравнения, возведем обе части в степень $4$ .

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[4]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1

Упростим ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{1} = 0^{4}$

Этап 6.3.2.2.1.2

Упростим.

$x = 0^{4}$

Этап 6.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$x = 0$

Этап 6.4

Зададим подкоренное выражение в $\sqrt[4]{x}$ меньшим $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x < 0$

Этап 6.5

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Этап 9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 9.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Этап 9.2.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Этап 9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Этап 9.3.2

Умножим $4$ на $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Этап 9.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$- \frac{0.5625}{0}$

Этап 9.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 10

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 11