Математический анализ Примеры

$f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $2 \cos (t) + \sin (2 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

$\frac{d}{d t} [2 \cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 \cos (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \cos (t)$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\cos (t)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\cos (t)] + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Этап 1.2.2

Производная $\cos (t)$ по $t$ равна $- \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Этап 1.2.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [\sin (2 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \sin (t)$ и $g (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 1.3.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (u) \frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 1.3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) (2 \cdot 1)$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (t) + \cos (2 t) \cdot 2$

Этап 1.3.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 t)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)] + \frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = \frac{d}{d t} (- 2 \sin (t)) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [- 2 \sin (t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $t$ , производная $- 2 \sin (t)$ по $t$ равна $- 2 \frac{d}{d t} [\sin (t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \frac{d}{d t} \sin (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (t)$ по $t$ равна $\cos (t)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + \frac{d}{d t} (2 \cos (2 t))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [2 \cos (2 t)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \cos (2 t)$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\cos (2 t)]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 \frac{d}{d t} (\cos (2 t))$

Этап 2.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (2 t))$

Этап 2.3.2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d t} (2 t))$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \frac{d}{d t} (2 t))$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \frac{d}{d t} (t)))$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) (2 \cdot 1))$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- \sin (2 t) \cdot 2)$

Этап 2.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) + 2 (- 2 \sin (2 t))$

Этап 2.3.7

Умножим $- 2$ на $2$ .

$f'' (t) = - 2 \cos (t) - 4 \sin (2 t)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t) = 0$

Этап 4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (t) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 2 \sin (t) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$- 2 \sin (t) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 4.4

Умножим $- 2$ на $2$ .

$- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 5

Разложим $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (t) + 2 - 4 \sin^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \sin (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 5.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (t) = 0$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $2$ из $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$2 (- \sin (t)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 5.1.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (t)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 5.1.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- \sin (t) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (t))$ .

$2 (- \sin (t) + 1 - 2 \sin^{2} (t)) = 0$

Этап 5.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Изменим порядок членов.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.2

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ , а сумма — $b = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (t)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) - \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.2

Запишем $- 1$ как $1$ плюс $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + (1 - 2) \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + 1 \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.2.4

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$2 (- 2 \sin^{2} (t) + \sin (t) - 2 \sin (t) + 1) = 0$

Этап 5.2.1.3.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 (\sin (t) (- 2 \sin (t) + 1) + 1 (- 2 \sin (t) + 1)) = 0$

Этап 5.2.1.4

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- 2 \sin (t) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1)) = 0$

Этап 5.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

$\sin (t) + 1 = 0$

Этап 7

Приравняем $- 2 \sin (t) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- 2 \sin (t) + 1$ к $0$ .

$- 2 \sin (t) + 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $- 2 \sin (t) + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \sin (t) = - 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $- 2 \sin (t) = - 1$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $- 2 \sin (t) = - 1$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \sin (t)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $\sin (t)$ на $1$ .

$\sin (t) = \frac{- 1}{- 2}$

Этап 7.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (t) = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.3

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (\frac{1}{2})$

Этап 7.2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Точное значение $\arcsin (\frac{1}{2})$ : $\frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}$

Этап 7.2.5

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$t = π - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6

Упростим $π - \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$t = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.2.1

Объединим $π$ и $\frac{6}{6}$ .

$t = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Этап 7.2.6.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$t = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Этап 7.2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.3.1

Перенесем $6$ влево от $π$ .

$t = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Этап 7.2.6.3.2

Вычтем $π$ из $6 π$ .

$t = \frac{5 π}{6}$

Этап 7.2.7

Решение уравнения $t = \frac{π}{6}$ .

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Этап 8

Приравняем $\sin (t) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\sin (t) + 1$ к $0$ .

$\sin (t) + 1 = 0$

Этап 8.2

Решим $\sin (t) + 1 = 0$ относительно $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (t) = - 1$

Этап 8.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $t$ из синуса.

$t = \arcsin (- 1)$

Этап 8.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 8.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$t = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 8.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$t = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.2.6

Решение уравнения $t = - \frac{π}{2}$ .

$t = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 (- 2 \sin (t) + 1) (\sin (t) + 1) = 0$ верно.

$t = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Найдем вторую производную в $t = \frac{π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11.1.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11.1.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11.1.3

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 11.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 11.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 11.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Этап 11.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.1.6.2

Сократим общий множитель.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 11.1.6.3

Перепишем это выражение.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Этап 11.2

Вычтем $2 \sqrt{3}$ из $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Этап 12

$t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 13

Найдем значение y, если $t = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 13.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 13.2.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 13.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 13.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Этап 13.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Этап 13.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Этап 13.2.1.4

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.3.1

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.4.1

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.4.2

Добавим $2 \sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 13.2.5

Окончательный ответ: $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 14

Найдем вторую производную в $t = \frac{5 π}{6}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.3.4

Перепишем это выражение.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.5

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 15.1.6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.6.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Этап 15.1.6.2

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Этап 15.1.6.3

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 15.1.7

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Этап 15.1.8

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Этап 15.1.9

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1.9.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.1.9.2

Вынесем множитель $2$ из $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.1.9.3

Сократим общий множитель.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Этап 15.1.9.4

Перепишем это выражение.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Этап 15.1.10

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Этап 15.2

Добавим $\sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Этап 16

$t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 17

Найдем значение y, если $t = \frac{5 π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $\frac{5 π}{6}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.1

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2.1.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{6})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ в числитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Этап 17.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Этап 17.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Этап 17.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Этап 17.2.1.5

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Этап 17.2.1.6

Точное значение $\sin (\frac{π}{3})$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.2

Чтобы записать $- \sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.3.1

Объединим $- \sqrt{3}$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.4.2

Вычтем $\sqrt{3}$ из $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 17.2.6

Окончательный ответ: $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Этап 18

Найдем вторую производную в $t = - \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Этап 19

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.1

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Этап 19.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Этап 19.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Этап 19.1.4

Умножим $- 2$ на $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Этап 19.1.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1.5.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{2}$ в числитель.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Этап 19.1.5.2

Сократим общий множитель.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Этап 19.1.5.3

Перепишем это выражение.

$0 - 4 \sin (- π)$

Этап 19.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$0 - 4 \sin (0)$

Этап 19.1.7

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Этап 19.1.8

Умножим $- 4$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 19.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 20

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $t$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 20.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - \frac{π}{2})$ в первую производную $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Этап 20.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.2.2.1.1

Найдем значение $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Этап 20.2.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Этап 20.2.2.1.3

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Этап 20.2.2.1.4

Найдем значение $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Этап 20.2.2.1.5

Умножим $2$ на $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Этап 20.2.2.2

Вычтем $0.29100006$ из $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Этап 20.2.2.3

Окончательный ответ: $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Этап 20.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ в первую производную $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $0$ .

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Этап 20.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.3.2.1.1

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Этап 20.3.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Этап 20.3.2.1.3

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Этап 20.3.2.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Этап 20.3.2.1.5

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Этап 20.3.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f' (0) = 2$

Этап 20.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 20.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ в первую производную $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $2$ .

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Этап 20.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.4.2.1.1

Найдем значение $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Этап 20.4.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Этап 20.4.2.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Этап 20.4.2.1.4

Найдем значение $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Этап 20.4.2.1.5

Умножим $2$ на $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Этап 20.4.2.2

Вычтем $1.30728724$ из $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Этап 20.4.2.3

Окончательный ответ: $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Этап 20.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $4$ .

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Этап 20.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.5.2.1.1

Найдем значение $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Этап 20.5.2.1.2

Умножим $- 2$ на $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Этап 20.5.2.1.3

Умножим $2$ на $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Этап 20.5.2.1.4

Найдем значение $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Этап 20.5.2.1.5

Умножим $2$ на $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Этап 20.5.2.2

Вычтем $0.29100006$ из $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Этап 20.5.2.3

Окончательный ответ: $1.22260492$ .

$1.22260492$

Этап 20.6

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $- 2 \sin (t) + 2 \cos (2 t)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.1

Заменим в этом выражении переменную $t$ на $7$ .

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Этап 20.6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.6.2.1.1

Найдем значение $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Этап 20.6.2.1.2

Умножим $- 2$ на $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Этап 20.6.2.1.3

Умножим $2$ на $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Этап 20.6.2.1.4

Найдем значение $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Этап 20.6.2.1.5

Умножим $2$ на $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Этап 20.6.2.2

Добавим $- 1.31397319$ и $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Этап 20.6.2.3

Окончательный ответ: $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Этап 20.7

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = - \frac{π}{2}$ , $t = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум.

$t = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 20.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = \frac{π}{6}$ , $t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум.

$t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

Этап 20.9

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $t = \frac{5 π}{6}$ , $t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум.

$t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

Этап 20.10

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $t = \frac{3 π}{2}$ , $t = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум.

$t = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 20.11

Это локальные экстремумы $f (t) = 2 \cos (t) + \sin (2 t)$ .

$t = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

$t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

$t = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

$t = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$t = \frac{π}{6}$ — локальный максимум

$t = \frac{5 π}{6}$ — локальный минимум

$t = \frac{3 π}{2}$ — локальный максимум

Этап 21