Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} x^{2} - x$

Этап 1

Запишем $\frac{1}{2} x^{2} - x$ в виде функции.

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} x^{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$x - 1$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 3.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 1 + 0$

Этап 3.4

Добавим $1$ и $0$ .

$f'' (x) = 1$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x - 1 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{2} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.3

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.4

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2.5.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 1 \cdot 1$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f' (x) = x - 1$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x - 1$ .

$x - 1$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x - 1 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$1$

Этап 10

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2} - (1)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - (1)$

Этап 11.2.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - (1)$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1$

Этап 11.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Этап 11.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Этап 11.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Этап 11.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f (1) = \frac{1 - 2}{2}$

Этап 11.2.5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = \frac{- 1}{2}$

Этап 11.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (1) = - \frac{1}{2}$

Этап 11.2.7

Окончательный ответ: $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - x$ .

$(1, - \frac{1}{2})$ — локальный минимум

Этап 13