Математический анализ Примеры

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Этап 1

Запишем $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.2

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.5

Чтобы записать $x^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.8

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.10.2.9

Добавим $3 x^{\frac{1}{3}}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.9

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.10

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}})$

Этап 3.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1})$

Этап 3.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Этап 3.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 3.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 3.3.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 3.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 3.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 3.3.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 3.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 3.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 3.3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 3.3.15

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 3.3.16

Умножим $4$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 3.3.17

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 5.1.2.5

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 5.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 5.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 5.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 5.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 5.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 5.1.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 5.1.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.2

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.10.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.5

Чтобы записать $x^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.8

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.1.10.2.9

Добавим $3 x^{\frac{1}{3}}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Этап 6.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Этап 6.2.2

Так как $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $3, 3, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{2}{3}}$ .

Этап 6.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 6.2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 6.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 6.2.6

НОК $3, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 6.2.7

НОК $x^{\frac{2}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.2.8

НОК $3, 3 x^{\frac{2}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $3$ и переменной части.

$3 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.3

Каждый член в $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ умножим на $3 x^{\frac{2}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим каждый член $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ на $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{2}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $x^{\frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.3.1

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 x^{\frac{2 + 1}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.4

Добавим $2$ и $1$ .

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.3.5

Разделим $3$ на $3$ .

$4 x^{1} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.4

Упростим $4 x^{1}$ .

$4 x + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} (3 x^{\frac{2}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.6

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель.

$4 x + 3 \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.6.2

Перепишем это выражение.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.7

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.7.1

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.2.1.7.2

Перепишем это выражение.

$4 x + 4 = 0 (3 x^{\frac{2}{3}})$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Умножим $0 (3 x^{\frac{2}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$4 x + 4 = 0 x^{\frac{2}{3}}$

Этап 6.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$4 x + 4 = 0$

Этап 6.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$4 x = - 4$

Этап 6.4.2

Разделим каждый член $4 x = - 4$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Разделим каждый член $4 x = - 4$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Этап 6.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 4}{4}$

Этап 6.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 4}{4}$

Этап 6.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.3.1

Разделим $- 4$ на $4$ .

$x = - 1$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Преобразуем выражения, перейдя от дробных степеней к радикалам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 7.1.2

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 7.1.3

Любое число, возведенное в степень $1$ , является основанием.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} + \frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 7.2

Зададим знаменатель в $\frac{4}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Этап 7.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Упростим ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.1

Применим правило умножения к $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.2

Возведем $3$ в степень $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1.3.2.1

Сократим общий множитель.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.2.1.3.2.2

Перепишем это выражение.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Этап 7.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Этап 7.3.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.1

Разделим каждый член $27 x^{2} = 0$ на $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1

Сократим общий множитель $27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Этап 7.3.3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.1.3.1

Разделим $0$ на $27$ .

$x^{2} = 0$

Этап 7.3.3.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 7.3.3.3

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.3.3.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 7.3.3.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 7.3.3.3.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - 1, 0$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{9 {(- 1)}^{2}} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.1.4

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{4}{9 \cdot 1} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.2

Умножим $9$ на $1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 10.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 10.1.3.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Этап 10.1.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 {(- 1)}^{5}}$

Этап 10.1.3.4

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{9 \cdot - 1}$

Этап 10.1.4

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{4}{9} - \frac{8}{- 9}$

Этап 10.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9} - - \frac{8}{9}$

Этап 10.1.6

Умножим $- - \frac{8}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4}{9} + 1 (\frac{8}{9})$

Этап 10.1.6.2

Умножим $\frac{8}{9}$ на $1$ .

$\frac{4}{9} + \frac{8}{9}$

Этап 10.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 + 8}{9}$

Этап 10.2.2

Добавим $4$ и $8$ .

$\frac{12}{9}$

Этап 10.2.3

Сократим общий множитель $12$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 (4)}{9}$

Этап 10.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Этап 10.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 3}$

Этап 10.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{3}$

Этап 11

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Перепишем $- 1$ в виде ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} ((- 1) + 4)$

Этап 12.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} ((- 1) + 4)$

Этап 12.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (- 1) = (- 1) ((- 1) + 4)$

Этап 12.2.3

Найдем экспоненту.

$f (- 1) = - 1 ((- 1) + 4)$

Этап 12.2.4

Добавим $- 1$ и $4$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot 3$

Этап 12.2.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$f (- 1) = - 3$

Этап 12.2.6

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{4}{9 {(0)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$\frac{4}{9 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{9 \cdot 0^{2}} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{4}{9 \cdot 0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.3.2

Умножим $9$ на $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{4}{0} - \frac{8}{9 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 14.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.2.2

Окончательный ответ: $\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 4)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = \frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.3.2

Окончательный ответ: $\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (2) = \frac{2^{2 + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.4

Объединим $2$ и $\frac{3}{3}$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (2) = \frac{2^{\frac{2 \cdot 3 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.6.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{6 + 1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.1.6.2

Добавим $6$ и $1$ .

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 {(2)}^{\frac{2}{3}}}$

$f' (2) = \frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.4.2.2

Окончательный ответ: $\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{7}{3}}}{3} + \frac{4}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Этап 15.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный минимум.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ .

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 16