Математический анализ Примеры

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Этап 1

Запишем $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ в виде функции.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 64$ на $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x^{2}$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.3.3

Умножим $2$ на $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $96$ является константой относительно $x$ , производная $96 x$ по $x$ равна $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.4.3

Умножим $96$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Этап 3.5.2

Добавим $12 x^{2} - 72 x + 96$ и $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x^{3}$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $3$ на $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $48$ является константой относительно $x$ , производная $48 x^{2}$ по $x$ равна $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $2$ на $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Этап 5.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $- 64$ является константой относительно $x$ , производная $- 64 x$ по $x$ равна $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Этап 5.1.4.3

Умножим $- 64$ на $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $4$ из $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $4$ из $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $4$ из $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $4$ из $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 6.2.1.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Этап 6.2.1.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Этап 6.2.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Этап 6.2.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 6.2.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 6.2.2.3.3

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 6.2.2.3.4

Умножим $- 9$ на $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 6.2.2.3.5

Вычтем $9$ из $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Этап 6.2.2.3.6

Умножим $24$ на $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Этап 6.2.2.3.7

Добавим $- 8$ и $24$ .

$16 - 16$

Этап 6.2.2.3.8

Вычтем $16$ из $16$ .

$0$

Этап 6.2.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Этап 6.2.2.5

Разделим $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ на $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Этап 6.2.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Этап 6.2.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Этап 6.2.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Этап 6.2.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Этап 6.2.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 6.2.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 8 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Этап 6.2.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Этап 6.2.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Этап 6.2.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Этап 6.2.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 6.2.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $16 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 6.2.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Этап 6.2.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Этап 6.2.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Этап 6.2.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$x^{2} - 8 x + 16$

Этап 6.2.2.6

Запишем $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ в виде набора множителей.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Этап 6.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Этап 6.2.3.1.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Этап 6.2.3.1.3

Перепишем многочлен.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Этап 6.2.3.1.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Этап 6.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 6.5

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем ${(x - 4)}^{2}$ к $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Этап 6.5.2

Решим ${(x - 4)}^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 6.5.2.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ верно.

$x = 1, 4$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 1, 4$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Этап 10.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Этап 10.1.3

Умножим $- 72$ на $1$ .

$12 - 72 + 96$

Этап 10.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $72$ из $12$ .

$- 60 + 96$

Этап 10.2.2

Добавим $- 60$ и $96$ .

$36$

Этап 11

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Этап 12.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Этап 12.2.1.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Этап 12.2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Этап 12.2.1.5

Умножим $48$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Этап 12.2.1.6

Умножим $- 64$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Вычтем $12$ из $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Этап 12.2.2.2

Добавим $- 11$ и $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Этап 12.2.2.3

Вычтем $64$ из $37$ .

$f (1) = - 27$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 27$ .

$y = - 27$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Этап 14.1.2

Умножим $12$ на $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Этап 14.1.3

Умножим $- 72$ на $4$ .

$192 - 288 + 96$

Этап 14.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $288$ из $192$ .

$- 96 + 96$

Этап 14.2.2

Добавим $- 96$ и $96$ .

$0$

Этап 15

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Этап 15.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 1)$ в первую производную $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 15.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 15.2.2.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Этап 15.2.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Этап 15.2.2.1.4

Умножим $- 36$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Этап 15.2.2.1.5

Умножим $96$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Этап 15.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Этап 15.2.2.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Этап 15.2.2.2.3

Вычтем $64$ из $0$ .

$f' (0) = - 64$

Этап 15.2.2.3

Окончательный ответ: $- 64$ .

$- 64$

Этап 15.3

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(1, 4)$ в первую производную $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Этап 15.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Этап 15.3.2.1.2

Умножим $4$ на $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Этап 15.3.2.1.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Этап 15.3.2.1.4

Умножим $- 36$ на $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Этап 15.3.2.1.5

Умножим $96$ на $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Этап 15.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.3.2.2.1

Вычтем $144$ из $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Этап 15.3.2.2.2

Добавим $- 112$ и $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Этап 15.3.2.2.3

Вычтем $64$ из $80$ .

$f' (2) = 16$

Этап 15.3.2.3

Окончательный ответ: $16$ .

$16$

Этап 15.4

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(4, \infty)$ в первую производную $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Этап 15.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.1.1

Возведем $6$ в степень $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Этап 15.4.2.1.2

Умножим $4$ на $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Этап 15.4.2.1.3

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Этап 15.4.2.1.4

Умножим $- 36$ на $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Этап 15.4.2.1.5

Умножим $96$ на $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Этап 15.4.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.4.2.2.1

Вычтем $1296$ из $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Этап 15.4.2.2.2

Добавим $- 432$ и $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Этап 15.4.2.2.3

Вычтем $64$ из $144$ .

$f' (6) = 80$

Этап 15.4.2.3

Окончательный ответ: $80$ .

$80$

Этап 15.5

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный минимум.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 15.6

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 4$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 15.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 16