Математический анализ Примеры

$x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$

Этап 1

Запишем $x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ в виде функции.

$f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 60$ на $1$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 x^{2} + 24 x - 60$ и $0$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 24 x - 60$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (24 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.3.3

Умножим $24$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24 + 0$

Этап 3.4.2

Добавим $6 x + 24$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 24$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{2}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.2.3

Умножим $2$ на $12$ .

$3 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.3.3

Умножим $- 60$ на $1$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 + 0$

Этап 5.1.4.2

Добавим $3 x^{2} + 24 x - 60$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 24 x - 60$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} + 24 x - 60$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} + 24 x - 60 = 0$

Этап 6.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 24 x - 60$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) + 24 x - 60 = 0$

Этап 6.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (8 x) - 60 = 0$

Этап 6.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $- 60$ .

$3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

Этап 6.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (8 x)$ .

$3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot - 20 = 0$

Этап 6.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} + 8 x) + 3 \cdot - 20$ .

$3 (x^{2} + 8 x - 20) = 0$

Этап 6.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разложим $x^{2} + 8 x - 20$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 20$ , а сумма — $8$ .

$- 2, 10$

Этап 6.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 2) (x + 10)) = 0$

Этап 6.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 2) (x + 10) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 10 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x - 2$ к $0$ .

$x - 2 = 0$

Этап 6.4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x = 2$

Этап 6.5

Приравняем $x + 10$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x + 10$ к $0$ .

$x + 10 = 0$

Этап 6.5.2

Вычтем $10$ из обеих частей уравнения.

$x = - 10$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 2) (x + 10) = 0$ верно.

$x = 2, - 10$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 10$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (2) + 24$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $6$ на $2$ .

$12 + 24$

Этап 10.2

Добавим $12$ и $24$ .

$36$

Этап 11

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{3} + 12 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 1$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 + 12 {(2)}^{2} - 60 \cdot 2 + 1$

Этап 12.2.1.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = 8 + 12 \cdot 4 - 60 \cdot 2 + 1$

Этап 12.2.1.3

Умножим $12$ на $4$ .

$f (2) = 8 + 48 - 60 \cdot 2 + 1$

Этап 12.2.1.4

Умножим $- 60$ на $2$ .

$f (2) = 8 + 48 - 120 + 1$

Этап 12.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.2.1

Добавим $8$ и $48$ .

$f (2) = 56 - 120 + 1$

Этап 12.2.2.2

Вычтем $120$ из $56$ .

$f (2) = - 64 + 1$

Этап 12.2.2.3

Добавим $- 64$ и $1$ .

$f (2) = - 63$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $- 63$ .

$y = - 63$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - 10$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (- 10) + 24$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Умножим $6$ на $- 10$ .

$- 60 + 24$

Этап 14.2

Добавим $- 60$ и $24$ .

$- 36$

Этап 15

$x = - 10$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 10$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f (- 10) = {(- 10)}^{3} + 12 {(- 10)}^{2} - 60 \cdot - 10 + 1$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $3$ .

$f (- 10) = - 1000 + 12 {(- 10)}^{2} - 60 \cdot - 10 + 1$

Этап 16.2.1.2

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$f (- 10) = - 1000 + 12 \cdot 100 - 60 \cdot - 10 + 1$

Этап 16.2.1.3

Умножим $12$ на $100$ .

$f (- 10) = - 1000 + 1200 - 60 \cdot - 10 + 1$

Этап 16.2.1.4

Умножим $- 60$ на $- 10$ .

$f (- 10) = - 1000 + 1200 + 600 + 1$

Этап 16.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.2.1

Добавим $- 1000$ и $1200$ .

$f (- 10) = 200 + 600 + 1$

Этап 16.2.2.2

Добавим $200$ и $600$ .

$f (- 10) = 800 + 1$

Этап 16.2.2.3

Добавим $800$ и $1$ .

$f (- 10) = 801$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $801$ .

$y = 801$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{3} + 12 x^{2} - 60 x + 1$ .

$(2, - 63)$ — локальный минимум

$(- 10, 801)$ — локальный максимум

Этап 18