Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 2 x) e^{x}$

Этап 1

Запишем $(x^{2} - 2 x) e^{x}$ в виде функции.

$f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x$ и $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Этап 2.4.3.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 2.4.3.2.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Этап 2.4.3.3

Добавим $x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Этап 2.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 2 e^{x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 e^{x}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \frac{d}{d x} e^{x}$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 e^{x}$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$

Этап 3.4.2

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x - 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

$(x^{2} - 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 5.1.2

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.3.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 5.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Этап 5.1.3.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2 \cdot 1)$

Этап 5.1.3.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$(x^{2} - 2 x) e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x - 2)$

Этап 5.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2$

Этап 5.1.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.3.1

Перенесем $- 2$ влево от $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x}$

Этап 5.1.4.3.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $e^{x} (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.3.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 5.1.4.3.2.2

Добавим $- 2 x e^{x}$ и $2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 0 - 2 e^{x}$

Этап 5.1.4.3.3

Добавим $x^{2} e^{x}$ и $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 5.1.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$

Этап 5.1.4.5

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{2} - 2 e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{2} e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x} - 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - 2 e^{x} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- 2 e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2 = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} x^{2} + e^{x} \cdot - 2$ .

$e^{x} (x^{2} - 2) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.4.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.4.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 6.5

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Этап 6.5.2

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Этап 6.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Этап 6.5.2.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Этап 6.5.2.3.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Этап 6.5.2.3.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 6.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(\sqrt{2})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.1.5

Найдем экспоненту.

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 (\sqrt{2}) e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

$2 e^{\sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} - 2 e^{\sqrt{2}}$

Этап 10.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вычтем $2 e^{\sqrt{2}}$ из $2 e^{\sqrt{2}}$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}} + 0$

Этап 10.2.2

Добавим $2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ и $0$ .

$2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Этап 11

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = ({(\sqrt{2})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.1.5

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = (2 - 2 \sqrt{2}) \cdot e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (\sqrt{2}) = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(- \sqrt{2})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$2^{\frac{2}{2}} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$2^{1} e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.4.5

Найдем экспоненту.

$2 e^{- \sqrt{2}} + 2 (- \sqrt{2}) e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 e^{- \sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} - 2 e^{- \sqrt{2}}$

Этап 14.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Вычтем $2 e^{- \sqrt{2}}$ из $2 e^{- \sqrt{2}}$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}} + 0$

Этап 14.2.2

Добавим $- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ и $0$ .

$- 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Этап 15

$x = - \sqrt{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2}$ — локальный максимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(- \sqrt{2})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.1

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (1 {\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.3

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({\sqrt{2}}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = (2^{\frac{2}{2}} - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.4.5

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = (2 - 2 (- \sqrt{2})) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$f (- \sqrt{2}) = (2 + 2 \sqrt{2}) \cdot e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f (- \sqrt{2}) = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Этап 16.2.3

Окончательный ответ: $2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$ .

$y = 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = (x^{2} - 2 x) e^{x}$ .

$(\sqrt{2}, 2 e^{\sqrt{2}} - 2 \sqrt{2} e^{\sqrt{2}})$ — локальный минимум

$(- \sqrt{2}, 2 e^{- \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2} e^{- \sqrt{2}})$ — локальный максимум

Этап 18