Математический анализ Примеры

$V (t) = 45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$

Этап 1

По правилу суммы производная $45 (1 - e^{- 1.6 t}) + 31$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$ .

$\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})] + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [45 (1 - e^{- 1.6 t})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $45$ является константой относительно $t$ , производная $45 (1 - e^{- 1.6 t})$ по $t$ равна $45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}]$ .

$45 \frac{d}{d t} [1 - e^{- 1.6 t}] + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $1 - e^{- 1.6 t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$45 (0 + \frac{d}{d t} [- e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- 1.6 t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]$ .

$45 (0 - \frac{d}{d t} [e^{- 1.6 t}]) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - 1.6 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$45 (0 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 1.6 t$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \frac{d}{d t} [- 1.6 t])) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.6

Поскольку $- 1.6$ является константой относительно $t$ , производная $- 1.6 t$ по $t$ равна $- 1.6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} (- 1.6 \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.8

Умножим $- 1.6$ на $1$ .

$45 (0 - (e^{- 1.6 t} \cdot - 1.6)) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.9

Перенесем $- 1.6$ влево от $e^{- 1.6 t}$ .

$45 (0 - (- 1.6 \cdot e^{- 1.6 t})) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.10

Умножим $- 1.6$ на $- 1$ .

$45 (0 + 1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.11

Добавим $0$ и $1.6 e^{- 1.6 t}$ .

$45 (1.6 e^{- 1.6 t}) + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 2.12

Умножим $1.6$ на $45$ .

$72 e^{- 1.6 t} + \frac{d}{d t} [31]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $31$ является константой относительно $t$ , производная $31$ относительно $t$ равна $0$ .

$72 e^{- 1.6 t} + 0$

Этап 3.2

Добавим $72 e^{- 1.6 t}$ и $0$ .

$72 e^{- 1.6 t}$