Математический анализ Примеры

$s (t) = 2 \arccos (t - 1)$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 \arccos (t - 1)$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$ .

$2 \frac{d}{d t} [\arccos (t - 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \arccos (t)$ и $g (t) = t - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $t - 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\arccos (u)] \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 2.2

Производная $\arccos (u)$ по $u$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $t - 1$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$ и $- 2$ .

$\frac{- 2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \frac{d}{d t} [t - 1]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Этап 3.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} (1 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}} \cdot 1$

Этап 3.6.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{2}{\sqrt{1 - {(t - 1)}^{2}}}$