Математический анализ Примеры

$\frac{1}{2} \cdot \ln (x y) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{2} \ln (x y)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(x y)}^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Этап 1.2

Применим правило умножения к $x y$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \frac{3}{2} \cdot \ln (\frac{x}{y})$

Этап 1.3

Упростим $\frac{3}{2} \ln (\frac{x}{y})$ путем переноса $\frac{3}{2}$ под логарифм.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln ({(\frac{x}{y})}^{\frac{3}{2}})$

Этап 1.4

Применим правило умножения к $\frac{x}{y}$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}) + \ln (\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Этап 3

Сократим общий множитель $y^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}$ .

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}})$

Этап 3.2

Вынесем множитель $y^{\frac{1}{2}}$ из $y^{\frac{3}{2}}$ .

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.3

Сократим общий множитель.

$\ln (y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 3.4

Перепишем это выражение.

$\ln (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 4

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}}$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{x^{\frac{1 + 3}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $3$ .

$\ln (\frac{x^{\frac{4}{2}}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 5.4

Разделим $4$ на $2$ .

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{\frac{2}{2}}})$

Этап 6.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x^{2}}{y^{1}})$

Этап 7

Упростим.

$\ln (\frac{x^{2}}{y})$