Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{3}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $3$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $15 x^{4} - 15 x^{2}$ и $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Этап 2.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Этап 2.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2} - 15 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Этап 2.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Этап 2.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Этап 2.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 2.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 2.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 2.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 2.5

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x^{2} - 1$ к $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Решим $x^{2} - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 1$

Этап 2.5.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 2.5.2.3

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 2.5.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 2.5.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 2.5.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Этап 4.1.2.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим $- 5$ на $0$ .

$0 + 0 + 1$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 1$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Этап 4.2.2.1.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Этап 4.2.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

Этап 4.2.2.1.4

Умножим $- 5$ на $1$ .

$3 - 5 + 1$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $5$ из $3$ .

$- 2 + 1$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 1$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Этап 4.3.2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- 3 + 5 + 1$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Добавим $- 3$ и $5$ .

$2 + 1$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

Этап 5