Математический анализ Примеры

$\frac{1}{9} \cdot \ln ({(x + 2)}^{9}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим $\frac{1}{9} \ln ({(x + 2)}^{9})$ путем переноса $\frac{1}{9}$ под логарифм.

$\ln ({({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1.2

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{9})}^{\frac{1}{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln ({(x + 2)}^{9 (\frac{1}{9})}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln ({(x + 2)}^{1}) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1.3

Упростим.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot (\ln (x) - \ln ({(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}))$

Этап 1.4

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x^{2} + 3 x + 2)}^{2}})$

Этап 1.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разложим $x^{2} + 3 x + 2$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $2$ , а сумма — $3$ .

$1, 2$

Этап 1.5.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{((x + 1) (x + 2))}^{2}})$

Этап 1.5.2

Применим правило умножения к $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln (x + 2) + \frac{1}{2} \cdot \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$

Этап 1.6

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln (x + 2) + \ln ({(\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}})}^{\frac{1}{2}})$

Этап 1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{{(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.7.2

Применим правило умножения к ${(x + 1)}^{2} {(x + 2)}^{2}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Перемножим экспоненты в ${({(x + 1)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2 (\frac{1}{2})} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{1} {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.2

Упростим.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 1.8.3

Перемножим экспоненты в ${({(x + 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 1.8.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{2 (\frac{1}{2})}})$

Этап 1.8.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) {(x + 2)}^{1}})$

Этап 1.8.4

Упростим.

$\ln (x + 2) + \ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Этап 2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 1) (x + 2)})$

Этап 3

Сократим общий множитель $x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $x + 2$ из $(x + 1) (x + 2)$ .

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Этап 3.2

Сократим общий множитель.

$\ln ((x + 2) \frac{x^{\frac{1}{2}}}{(x + 2) (x + 1)})$

Этап 3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1})$