Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $a x^{2} + b x + c$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x^{2}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.2.3

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b x$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $b$ на $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.1.4

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 a x + b + 0$

Этап 1.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Добавим $2 a x + b$ и $0$ .

$2 a x + b$

Этап 1.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = b + 2 a x$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $b + 2 a x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Этап 2.2

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$2 a x = - b$

Этап 2.3

Разделим каждый член $2 a x = - b$ на $2 a$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $2 a x = - b$ на $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 2.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 2.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $a x^{2} + b x + c$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- \frac{b}{2 a}$ вместо $x$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.1.3

Применим правило умножения к $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.3

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.3.1

Вынесем множитель $a$ из ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.3.2

Вынесем множитель $a$ из $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.4

Объединим ${(- 1)}^{2}$ и $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.5.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.5.2

Умножим $b^{2}$ на $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.6

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Этап 4.1.2.1.7

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.1.8

Умножим $- b \frac{b}{2 a}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.8.1

Объединим $\frac{b}{2 a}$ и $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.1.8.2

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.1.8.3

Возведем $b$ в степень $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.1.8.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.1.8.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Этап 4.1.2.2

Чтобы записать $- \frac{b^{2}}{2 a}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Этап 4.1.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $4 a$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.3.1

Умножим $\frac{b^{2}}{2 a}$ на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Этап 4.1.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.5.1.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.1.1.2

Вынесем множитель $b^{2}$ из $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $b^{2}$ из $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Этап 4.1.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Этап 4.2

Перечислим все точки.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Этап 5